Question

В равнобедренном треугольнике АВС точка D – середина основания АС. На лучах АС и СВ отмечены точки M и N соответственно так, что BM = BN. Докажите, что треугольники BDM и BDN равны.

Answer 1

1. BD равна в треугольниках BDN и BDM одинакова

2. По условию AD и DC равны

3. Медиана делит основание на 90 градусов

По двум сторонам и углу между ними (1 признак равенства треугольника)

мы можем сказать что треугольники равны

ч.т.д.

              B

           /   |    \

         /     |      \

       /       |        \  

A N/____|_____\ M C

              D

Answer 2

Для доказательства равенства треугольников BDM и BDN, мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника и свойством серединного перпендикуляра.

1. Известно, что треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC и вершиной B. Следовательно, у него углы при вершине B и основании AC равны. То есть ∠ABD = ∠CBD.

2. Также известно, что точка D - середина основания AC. Это означает, что отрезок BD является серединным перпендикуляром к отрезку AC.

3. Так как BM = BN, то точки M и N лежат на одной и той же окружности с центром в точке B (так как расстояния от центра B до M и B до N равны).

Теперь давайте рассмотрим треугольники BDM и BDN:

У нас есть:

1. ∠ABD = ∠CBD (из свойства равнобедренного треугольника)
2. BD ⊥ AC (из свойства серединного перпендикуляра)
3. BM = BN (дано)

Мы видим, что у этих треугольников совпадают два угла и у них равны гипотенузы. Поэтому по гипотезе о равенстве треугольников (ггр) треугольники BDM и BDN равны.

Таким образом, треугольники BDM и BDN действительно равны.