Question

Дано: АВС-равнобедренный АС-основание окр(О;R)вписанная AB = 60, BD – высота, ВО : OD = 12 : 5, Найти АС

Answer 1

АО-биссектриса угла А треугольника АВD

По свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону на отрезки, прилежащие сторонам треугольника

АВ: AD=12:5

AB=60

AD=5AB/12=25

AC=2AD=50

О т в е т. 50

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и свойствами вписанного угла.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный, где AB = AC, и окружность (О; R) является вписанной в треугольник ABC. Тогда мы знаем, что BD - высота, и ВО : OD = 12 : 5.

По свойству вписанных углов треугольника ABC, угол BAC равен половине угла BOC. По свойству равнобедренного треугольника, угол BAC также равен углу BCA. Пусть угол BAC и угол BCA обозначаются как α.

Теперь, обратим внимание на треугольник BOD. Мы знаем, что ВО : OD = 12 : 5. Тогда можно записать:

BO = 12x OD = 5x

Также, из свойства вписанного угла, угол OBD равен половине угла BOC. Пусть угол OBD обозначается как β.

Теперь, воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABD, чтобы выразить BD через стороны треугольника:

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(α)

Так как AB = AC, то AB = 60.

AD - это высота, и она может быть найдена, используя теорему Пифагора в треугольнике AOD:

AD^2 = AO^2 + OD^2 AD^2 = R^2 + (5x)^2 AD^2 = R^2 + 25x^2

Теперь мы можем записать уравнение для BD:

BD^2 = 60^2 + (R^2 + 25x^2) - 2 * 60 * sqrt(R^2 + 25x^2) * cos(α)

После нахождения выражения для BD^2, найдем BD:

BD = sqrt(BD^2)

Теперь, воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике BOD для нахождения cos(β):

cos(β) = (BO^2 + OD^2 - BD^2) / (2 * BO * OD)

После нахождения cos(β), найдем sin(β) по формуле синуса комплемента:

sin(β) = sqrt(1 - cos(β)^2)

Теперь, зная sin(β), можем найти sin(α + β) по формуле синуса суммы:

sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β)

Так как угол BCA равен α, то sin(α) = sin(β).

Теперь у нас есть sin(α + β), что равно sin(2α). По свойствам синуса двойного угла:

sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α)

Мы уже знаем sin(α), поэтому можем выразить cos(α):

cos(α) = sin(2α) / (2 * sin(α))

Теперь, используя cos(α), можем найти sin(α):

sin(α) = sqrt(1 - cos(α)^2)

Теперь у нас есть значение sin(α), и мы можем найти сторону АС (AC):

AC = 2 * AD * sin(α)

Таким образом, мы нашли сторону АС.