Question

Точки M и N являются серединами соответственно сторон BC и CD ромба ABCD. Докажите, что если AM перпендикулярен BN, то четырехугольник ABCD — квадрат.

Answer 1

Ответ:

Тут всё довольно таки просто, если в четырёхугольнике один угол равен 90°, то все углы равны 90° и это квадрат.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны и что углы четырехугольника прямые.

Обозначим длину стороны квадрата ABCD как "a". Также обозначим точку пересечения AM и BN как точку O. Тогда, чтобы доказать, что ABCD — квадрат, нам нужно показать, что все стороны равны друг другу и что углы прямые.

Для начала заметим следующее:

1. Так как точка M является серединой стороны BC, а точка N — серединой стороны CD, то BM = MC и CN = ND.
2. Так как AM перпендикулярно BN, то угол BAM равен углу CBN, так как они являются смежными перпендикулярными углами.
3. Так как точка O является точкой пересечения AM и BN, то угол BAO равен углу CBO, так как они образованы параллельными прямыми (AO || CO) и пересекающей их прямой (BN).

Теперь рассмотрим треугольники BAO и CBO. У них:

1. BO общая сторона.
2. Угол BAO равен углу CBO (как мы заметили выше).
3. BM = MC и CN = ND (так как M и N являются серединами соответственно сторон BC и CD).

Таким образом, по теореме о равенстве углов и равенстве сторон у треугольников, треугольники BAO и CBO равны. А если треугольники равны, то и их стороны равны.

Из равенства сторон BO и OA следует, что четырехугольник OABO — это ромб, так как у ромба все стороны равны. Теперь, так как точка O лежит на сторонах квадрата ABCD и ромба OABO, то она является точкой их пересечения. Так как точка O — это середина стороны BO квадрата ABCD, то стороны квадрата равны между собой.

Также мы уже заметили, что угол BAO равен углу CBO, следовательно, это прямой угол. А так как угол BAO является углом квадрата ABCD, то все углы четырехугольника ABCD также являются прямыми углами.

Таким образом, мы доказали, что если AM перпендикулярно BN, то четырехугольник ABCD является квадратом.