Question

сторони прямокутника пропорційні числам 2і5, а точка перетину діагоналей віддалена від однієї зі сторін на 9 см менше, ніж від другої. знайдіть периметр прямокутника​

Answer 1

Я не знаю наскільки це правильно, але зробила так... Сама дуже довго думала, сподіваюсь, все правильно, а якщо ні, то хтось помітить це і виправить мене :з

Answer 2

Нехай сторони прямокутника будуть $2x$ і $5x$ (де $x$ - спільний множник).

За теоремою про діагоналі прямокутника, точка перетину діагоналей розділяє їх пополам. Отже, позначимо відстань від точки перетину діагоналей до однієї зі сторін $2x$ як $d$ і відстань до іншої сторони $5x$ як $d + 9$.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику $ABC$ з гіпотенузою $AC$ і катетами $AB$ і $BC$ відстані між точками на діагоналях:

$$d^2 + (2x)^2 = (5x)^2 \quad \text{(1)}$$

$$(d + 9)^2 + (5x)^2 = (2x)^2 \quad \text{(2)}$$

Розглянемо рівняння (1): $d^2 + 4x^2 = 25x^2$ $d^2 = 21x^2$

Підставимо $d^2$ з рівняння (2) виразом $21x^2$: $(d + 9)^2 + 25x^2 = 4x^2$ $d^2 + 18d + 81 + 25x^2 = 4x^2$ $21x^2 + 18d + 81 = 4x^2$ $17x^2 = -18d - 81$ $17x^2 = 18d + 81$

Тепер підставимо знову $d^2$ з рівняння (1) виразом $21x^2$: $17x^2 = 21x^2 + 81$ $4x^2 = 81$ $x^2 = \frac{81}{4}$ $x = \frac{9}{2}$

Отже, сторони прямокутника: $2x = 2 \cdot \frac{9}{2} = 9$ і $5x = 5 \cdot \frac{9}{2} = \frac{45}{2}$.

Периметр прямокутника дорівнює $P = 2(2x + 5x) = 2 \left(9 + \frac{45}{2}\right) = 2 \cdot \frac{63}{2} = 63$ см.