Question

В треугольнике ABC точка К принадлежит стороне АВ, ∠BCK = ∠BAC, ВК = 4, ВС = 7. Найдите отношение периметров треугольников ВКС и ABC

Answer 1

Решение во вложении

Answer 2

Обозначим длину отрезка AC как "x". Так как точка K лежит на стороне AB, а ∠BCK = ∠BAC, то треугольники BCK и BAC подобны. Поэтому можно записать пропорцию между их сторонами:

$\frac{BC}{BK} = \frac{AC}{AK}$.

Подставляем известные значения: $BC = 7$, $BK = 4$, $AK = x$, $AC = x + 11$.

$\frac{7}{4} = \frac{x + 11}{x}$.

Решаем уравнение относительно x:

$7x = 4x + 44$,

$3x = 44$,

$x = \frac{44}{3}$.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника ABC: $AB = x + 7 = \frac{44}{3} + 7 = \frac{65}{3}$, $AC = x + 11 = \frac{44}{3} + 11 = \frac{77}{3}$, $BC = 7$.

Периметр треугольника ABC: $P_{ABC} = AB + AC + BC = \frac{65}{3} + \frac{77}{3} + 7 = \frac{220}{3}$.

Периметр треугольника BKC: $P_{BKC} = BK + KC + BC = 4 + 4 + 7 = 15$.

Отношение периметров треугольников BKC и ABC:

$\frac{P_{BKC}}{P_{ABC}} = \frac{15}{\frac{220}{3}} = \frac{45}{220} = \frac{9}{44}$.

Итак, отношение периметров треугольников BKC и ABC равно $\frac{9}{44}$.