Question

С точки М, лежащей вне круга радиуса 5 см и центром О, провели касательную МК. Найдите угол КМО, если: а) ОМ = 10 см; б) КМ = 5см

Answer 1

Ответ:

Ответ:

А) ∠КМО = 30°

Б) ∠КМО = 45°

Объяснение:

1) Радиус окружности, проведённый из центра О к касательной в точку К, всегда составляет прямой угол с этой касательной.

То есть ∠OKM =  90°, а следовательно получившийся в результате построения треугольник ΔOKM - прямоугольный.

2(а)

По условию:

 Радиус ОК = 5 см – катет противолежащий углу М  (∠КМО)

             ОМ = 10 см - гипотенуза

Синус угла - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе:

sin(α)=a/c ;   sin(M) = OK/OM = 5/10 = ½ ,  sin(½) = 30°

2(б)

По условию:

 Радиус ОК = 5 см – катет противолежащий углу М

Касательная МК = 5 см - катет прилежащий углу М

Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg(α)=a/b ;   tg(Μ) = ОК/МК = 5/5 = 1, tg(1) = 45°

Answer 2

Чтобы найти угол КМО, мы можем использовать свойства касательной, проведенной к окружности.

а) ОМ = 10 см: По свойству касательной, угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, является прямым углом. Поэтому угол КМО будет прямым углом.

б) КМ = 5 см: Здесь мы можем использовать теорему Пифагора. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике МКО: МО² = МК² + КО² Так как ОМ = 2 * ОК (радиус вдвое больше длины отрезка КМ), то МО = 2 * КО. Подставим эти значения в уравнение: (2 * КО)² = КМ² + КО² 4 * КО² = КМ² + КО² 3 * КО² = КМ² Теперь найдем отношение длин отрезков: КМО / КОМ = КМ / МО КМО / (КО + ОМ) = КМ / (2 * КО) КМО = (КМ / (2 * КО)) * (КО + ОМ) КМО = (КМ / 2) * (1 + (ОМ / КО)) КМО = (5 / 2) * (1 + (10 / КО)) Подставим значение КО² из уравнения 3 * КО² = КМ²: КМО = (5 / 2) * (1 + (10 / √(3 * КО²))) КМО = (5 / 2) * (1 + (10 / √(3 * КМ²))) КМО = (5 / 2) * (1 + (10 / √(3 * 5²))) КМО = (5 / 2) * (1 + (10 / √(3 * 25))) КМО = (5 / 2) * (1 + (10 / √(75))) КМО = (5 / 2) * (1 + (10 / (5 * √3))) КМО = (5 / 2) * (1 + (2 / √3)) КМО = (5 / 2) * (1 + (2√3 / 3)) КМО = (5 / 2) + (5√3 / 3) КМО = (15 + 10√3) / 6

Таким образом, угол КМО равен (15 + 10√3) / 6 радиан.