Question

Из точки А, лежащей вне круга, проведены касательная к кругу и секущая. Во сколько раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга, если расстояние от точки А до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга

Answer 1

Обозначим   длину  АM отрезка касательной,  а отрезки секущей вне и внутри ,  как АО и АО1     соотвественно  , по    условия    АО*3  = АМ.    по теореме о секщуей 

AM^2=AO*AO1

9AO^2=AO*AO1

9AO=AO1

OO1=AO1-AO

 OO1=8AO

 то есть 

 8AO/AO= 8 раз 

 

 

Answer 2

Пусть АВ-касательная, АД-секущая, В - точка касания, С и Д -точки пересечения секущей с окружностью.

Надо выяснить величину отношения ДС/АС.

 

Как известно, есть формула АВ²=АС·АД, т.е. АВ·АВ=АС·АД.

По свойству пропорции получим равенство:

$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{3AC}=\frac{1}{3} =>AD=3AB=9AC \\\\ \frac{DC}{AC}=\frac{AD-AC}{AC}=\frac{9AC-AC}{AC}=\frac{8AC}{AC}=8$

 

Таким образом, в 8 раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга.

Answer 3

Дано: - Точка A вне круга, - проведены касательная к кругу и секущая, - расстояние от точки A до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга.

Мы должны найти, во сколько раз отрезок секущей, лежащий внутри круга, больше отрезка секущей, находящегося вне круга.

Обозначения

Пусть точка касания касательной и круга обозначена как B, точка пересечения секущей и круга обозначена как C, а центр круга обозначен как O.

Решение

1. Поскольку расстояние от точки A до точки касания в 3 раза больше, чем длина отрезка, лежащего вне круга, мы можем предположить, что точка A лежит на линии, проходящей через точку касания и центр круга O.

2. Таким образом, отрезок AC является секущей, лежащей вне круга, и отрезок BC является отрезком секущей, лежащим внутри круга.

3. Поскольку AC - секущая, а BC - секущая, то у нас есть два прямоугольных треугольника: △ABC и △OBC.

4. Используя теорему о касательных и хордах, мы знаем, что отрезок, проведенный от центра круга до точки касания, перпендикулярен касательной.

5. Таким образом, △OBC является прямоугольным треугольником.

6. Давайте обозначим AB как хорду, BC как касательную, и OC как радиус круга.

Теперь, давайте рассчитаем отношение отрезка BC (лежащего внутри круга) к отрезку AC (лежащего вне круга) используя геометрические свойства прямоугольных треугольников △ABC и △OBC.