Question

Пусть в треугольнике ABC медианы равны 3, 4, 5. Вычислите стороны данного треугольника или докажите, что такого треугольника существовать не может.

Answer 1

Медиана у треугольника может быть только одна, это очевидный факт, поэтому такого треугольника существовать не может

Answer 2

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства медиан треугольника:

1. Медиана треугольника делит соответствующую сторону пополам.
2. Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Пусть медианы треугольника ABC равны 3, 4 и 5. Пусть M₁, M₂ и M₃ - середины сторон AB, BC и CA соответственно. Тогда длины сторон треугольника ABC равны удвоенным длинам медиан:

AB = 2 * M₁M₂ = 2 * 3 = 6, BC = 2 * M₂M₃ = 2 * 4 = 8, CA = 2 * M₃M₁ = 2 * 5 = 10.

Теперь давайте воспользуемся неравенствами треугольника, которые утверждают, что для любого треугольника сумма длин любых двух его сторон всегда больше длины третьей стороны:

1. AB + BC > CA,
2. BC + CA > AB,
3. CA + AB > BC.

Подставим найденные значения:

1. 6 + 8 > 10 (14 > 10) - выполняется,
2. 8 + 10 > 6 (18 > 6) - выполняется,
3. 10 + 6 > 8 (16 > 8) - выполняется.

Все неравенства выполняются, поэтому такой треугольник может существовать. Следовательно, треугольник со сторонами AB = 6, BC = 8 и CA = 10 удовлетворяет данным условиям.