Question

В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник. Боковая грань, которая содержит один из катетов основания, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем пирамиды, если образующая конуса равна 9 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°.

Answer 1

//////////////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте рассмотрим сначала пирамиду, вписанную в данный конус.

У нас есть пирамида с прямоугольным треугольным основанием, и одна из боковых граней этой пирамиды образует угол 60° с плоскостью основания. Это означает, что боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником, а угол между основанием и боковой гранью равен 60°.

Также дано, что образующая конуса равна 9 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что высота пирамиды (то есть образующая конуса) образует с плоскостью основания угол 45°.

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника основания пирамиды как a, b и c, где a и b - катеты, а c - гипотенуза. Из условия, мы знаем, что угол между боковой гранью (равнобедренным треугольником) и плоскостью основания составляет 60°, следовательно, у нас есть равенство:

$\tan(60°) = \frac{a}{c}$.

Из этого равенства мы можем найти a в терминах c:

$a = c \cdot \tan(60°)$.

Мы также знаем, что образующая конуса (высота пирамиды) равна 9 см и образует угол 45° с плоскостью основания, так что:

$h = 9 \cdot \cos(45°)$.

Теперь мы можем найти объем пирамиды. Объем пирамиды можно выразить следующим образом:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h$,

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Площадь основания $S_{\text{основания}}$ равна половине произведения катетов прямоугольного треугольника:

$S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

Теперь мы можем подставить значения $a$ и $h$, которые мы нашли выше:

$S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \tan(60°) \cdot b$,

$h = 9 \cdot \cos(45°)$.

Итак, подставляем все значения в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot c \cdot \tan(60°) \cdot b \cdot 9 \cdot \cos(45°)$.

Теперь можно вычислить числовое значение данного выражения, используя известные значения углов и длин сторон:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \tan(60°) \cdot b \cdot 9 \cdot \cos(45°)$.

Подставив числовые значения тангенса 60° (округленно √3) и косинуса 45° (1/√2):

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \sqrt{3} \cdot b \cdot 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Упрощаем выражение:

$V = \frac{3 \cdot 9^3 \cdot \sqrt{3} \cdot b}{3 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}$.

$V = \frac{3^2 \cdot 3^3 \cdot b \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}}$.

$V = \frac{3^5 \cdot b \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}}$.

$V = \frac{243 \cdot b \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}}$.

Итак, объем пирамиды равен $V = \frac{243 \cdot b \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}}$ кубических сантиметров.