Question

Высота усеченной правильной пирамиды равна 7 см, а длины сторон оснований 3√3 см и 4√3 см. Вычислить радиус описанного шара.

Answer 1

Чтобы вычислить радиус описанного шара усеченной правильной пирамиды, можно воспользоваться следующей формулой:

$R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4 \cdot V}}$

где $R$ - радиус описанного шара, $a$, $b$, $c$ - длины сторон оснований пирамиды, $V$ - объем пирамиды.

Для начала найдем объем пирамиды. Обозначим высоту усеченной пирамиды как $h$. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

$V = \frac{{h \cdot (A + \sqrt{A \cdot B} + B)}}{3}$

где $A$ и $B$ - площади оснований пирамиды.

Поскольку пирамида правильная, площади оснований можно найти с помощью формулы:

$A = \frac{{\sqrt{3} \cdot a^2}}{4}$ $B = \frac{{\sqrt{3} \cdot b^2}}{4}$

Подставив значения в формулы, получим:

$A = \frac{{\sqrt{3} \cdot (3\sqrt{3})^2}}{4} = \frac{{27\sqrt{3}}}{4}$ $B = \frac{{\sqrt{3} \cdot (4\sqrt{3})^2}}{4} = \frac{{48\sqrt{3}}}{4} = 12\sqrt{3}$

Теперь найдем объем пирамиды:

$V = \frac{{7 \cdot (\frac{{27\sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{{27\sqrt{3}}}{4} \cdot 12\sqrt{3}} + 12\sqrt{3})}}{3} = \frac{{7 \cdot (9\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 12\sqrt{3})}}{3} = \frac{{7 \cdot 30\sqrt{3}}}{3} = 70\sqrt{3}$

Теперь можем вычислить радиус описанного шара:

$R = \frac{{(3\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 7}}{{4 \cdot 70\sqrt{3}}} = \frac{{252\sqrt{3}}}{{280\sqrt{3}}} = \frac{{9}}{{10}}$