Question

Прямая параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке F, а сторону BC с точке D. Найдите площадь трапеции AFDB, если CD=6 см, DB=9 см, а площадь треугольника FCD=20 см2.

Answer 1

△ACB~△FCD (по соответственным углам при FD||AB)

S(ACB)/S(FCD) =k^2 =(15/6)^2 =25/4

S(AFDB)/S(FCD) =21/4

S(AFDB) =20*21/4 =105 (см^2)

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника ABC и трапеции AFDB следующим образом:

• Пусть AB = c (основание треугольника и верхнее основание трапеции).
• Пусть AC = a (левая боковая сторона треугольника).
• Пусть BC = b (правая боковая сторона треугольника).
• Пусть AF = x (верхняя основание трапеции).
• Пусть FD = y (нижняя основание трапеции).

Мы знаем, что треугольник FCD имеет площадь 20 см²: $S_{FCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DF = 20.$ $3y = 20.$ $y = \frac{20}{3}.$

Также у нас есть два уравнения, основанных на подобии треугольников: $\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{c}{b}.$ $\frac{FD}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{y}{6} = \frac{c}{a}.$

Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить. Для этого давайте выразим $x$ и $a$ через $c$ и $b$: $x = \frac{6c}{b}.$ $a = \frac{6c}{y}.$

Теперь мы можем выразить площадь трапеции AFDB: $S_{AFDB} = \frac{1}{2} \cdot (AF + BD) \cdot h,$ где $h$ - высота трапеции, то есть расстояние между основаниями $x$ и $y$. Она равна разности длин боковых сторон треугольника FCD: $h = b - a = b - \frac{6c}{y}.$

Теперь мы можем подставить выражения для $h$ и $y$ в формулу для площади трапеции: $S_{AFDB} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{6c}{b} + 9\right) \cdot \left(b - \frac{6c}{\frac{20}{3}}\right).$

$S_{AFDB} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{6c}{b} + 9\right) \cdot \left(b - \frac{9c}{10}\right).$

Теперь мы можем упростить это выражение, раскрыв скобки и упростив числовые вычисления: $S_{AFDB} = \frac{1}{2} \cdot \left(6 + \frac{9b}{c}\right) \cdot \left(b - \frac{9c}{10}\right).$

$S_{AFDB} = 3 \cdot \left(6 + \frac{9b}{c}\right) \cdot \left(b - \frac{9c}{10}\right).$

Таким образом, площадь трапеции AFDB зависит от параметров $b$ и $c$. Если у вас есть значения $b$ и $c$, вы можете подставить их в это выражение, чтобы найти площадь трапеции.