Question

Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равно 5 см, а синус ее острого угла равен 0,8. Найдите площадь этой трапеции

Answer 1

Пусть основания трапеции BC<AD

1) Длина средней линии равна полусумме оснований, значит сумма оснований равна 5*2=10 (см)

2) По свойству описанной трапеции АД+ВС=АВ+СД, но АД+ВС=10, а АВ=СД и АВ+СД=

=2АВ, тогда 2АВ=10, значит АВ=5 (см)

3) Опустим на нижнее основание АД высоту ВК и рассмотрим прямоугольный тр-к АКВ. В нем синус угла А равен отношению катета ВК к гипотенузе АВ. По условию ВК/АВ=0,8=4/5. АВ=5. Тогда ВК/5=4/5, значит ВК=4 (см)

4) S=((BC+AD)/2) * BK=5*4=20 (квадр. см)

Answer 2

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD, AB = CD, и E - точка пересечения диагоналей AC и BD. Пусть a - длина боковой стороны (AD или BC), b - длина верхней базы (AB), c - длина нижней базы (CD), и h - высота трапеции (расстояние между базами AB и CD).

Средняя линия трапеции (EF) равна полусумме верхней и нижней баз: EF = (b + c) / 2

Для нахождения площади трапеции нам понадобятся две формулы: формула площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности, а также формула площади треугольника через полупериметр и радиус описанной окружности:

1. Формула для радиуса вписанной окружности (r): r = (Площадь треугольника ABC) / (Полупериметр треугольника ABC) r = (b * h) / (b + 2 * a)

2. Формула для радиуса описанной окружности (R): R = (a * b * c) / (4 * Площадь треугольника ABC)

Известно, что синус острого угла треугольника ABC равен 0,8, и у нас есть следующее соотношение: sin(угол A) = h / a h = a * sin(угол A)

Таким образом, мы можем выразить площадь треугольника ABC через его высоту h и боковую сторону a: Площадь треугольника ABC = (1/2) * b * h = (1/2) * b * (a * sin(угол A))

Подставляя это выражение в формулы для радиуса вписанной и описанной окружностей, получим: r = (b * a * sin(угол A)) / (b + 2 * a) R = (a * b * c) / (4 * (1/2) * b * a * sin(угол A)) R = (c) / (2 * sin(угол A))

Известно, что R = EF = (b + c) / 2, следовательно: (b + c) / 2 = (c) / (2 * sin(угол A))

Умножим обе стороны на 2 * sin(угол A): (b + c) * sin(угол A) = c

Теперь, зная значение синуса угла A (0,8) и средней линии EF (5 см), мы можем решить уравнение относительно c: (5 + c) * 0,8 = c

Раскроем скобки и решим уравнение: 4 + 0,8c = c 0,2c = 4 c = 20

Таким образом, длина нижней базы трапеции равна 20 см.

Теперь мы можем найти высоту h, используя соотношение синуса: h = a * sin(угол A) h = a * 0,8

По условию задачи, средняя линия EF = 5 см, и она также является высотой треугольника ABC: h = EF = 5

Теперь, используя длины верхней и нижней баз трапеции (b и c) и высоту h, мы можем найти площадь трапеции через формулу: Площадь трапеции = (1/2) * (b + c) * h Площадь трапеции = (1/2) * (b + 20) * 5

Вы можете подставить известные значения (например, значение b, которое не было предоставлено в вашем вопросе) в эту формулу, чтобы получить численное значение площади трапеции.