Question

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны 3 и 4, боковое ребро – 6. На ребре DD1 выбрана точка К так, что делит его в отношении 2:1 считая от вершины D. Найдите: а) угол между прямыми АК и B1C1; б) угол между плоскостями АКС и АВС.

Answer 1

А тогда почему даны стороны. Я так сделала. Не уверена правильно ли

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет размеры основания 3x4 и боковое ребро 6.

а) Угол между прямыми АК и B1C1:

Поскольку точка K делит ребро DD1 в отношении 2:1 считая от вершины D, мы можем найти координаты точки K. Обозначим точку D с координатами (0, 0, 0), а точку D1 как (0, 0, 6).

Тогда координаты точки K будут: K(0, 0, 2).

Теперь нам нужно найти координаты вершин A и B1C1. Вершина A имеет координаты (3, 0, 0), вершина B1C1 имеет координаты (0, 4, 0).

Вектор направления прямой АК можно найти как разность координат A и K:

Вектор AK = A - K = (3, 0, 0) - (0, 0, 2) = (3, 0, -2).

Вектор направления прямой B1C1 можно найти как разность координат B1C1 и K:

Вектор B1C1K = B1C1 - K = (0, 4, 0) - (0, 0, 2) = (0, 4, -2).

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AK и B1C1K:

AK * B1C1K = (3, 0, -2) * (0, 4, -2) = 30 + 04 + (-2)*(-2) = 4.

Теперь используем свойство скалярного произведения векторов:

AK * B1C1K = |AK| * |B1C1K| * cos(θ),

где |AK| и |B1C1K| - длины векторов AK и B1C1K, а θ - угол между ними.

Длина вектора AK: |AK| = √(3^2 + 0^2 + (-2)^2) = √13,

Длина вектора B1C1K: |B1C1K| = √(0^2 + 4^2 + (-2)^2) = √20.

Теперь можем найти косинус угла θ:

cos(θ) = (AK * B1C1K) / (|AK| * |B1C1K|) = 4 / (√13 * √20).

Из этого мы можем найти угол θ:

θ = arccos(4 / (√13 * √20)).

Вычислив это значение, мы получим угол между прямыми АК и B1C1.

б) Угол между плоскостями АКС и АВС:

Для нахождения угла между плоскостями нам потребуется нормальный вектор каждой плоскости.

Плоскость АКС проходит через точку A(3, 0, 0), K(0, 0, 2) и S(3, 4, 0).

Вектор AK: (3, 0, 0) - (0, 0, 2) = (3, 0, -2), Вектор KS: (3, 4, 0) - (0, 0, 2) = (3, 4, -2).

Нормальный вектор плоскости АКС можно найти как векторное произведение AK и KS:

Нормальный вектор АКС = AK × KS = (0 * (-2) - 4 * (-2), (-2) * 3 - 0 * 3, 3 * 4 - 0 * 4) = (8, -6, 12).

Плоскость АВС проходит через точку A(3, 0, 0), B1(0, 4, 0) и S(3, 4, 0).

Вектор AB1: (3, 0, 0) - (0, 4, 0) = (3, -4, 0), Вектор BS: (3, 4, 0) - (0, 4, 0) = (3, 0, 0).

Нормальный вектор плоскости АВС можно найти как векторное произведение AB1 и BS:

Нормальный вектор АВС = AB1 × BS = (0 * 0 - (-4) * 0, 0 * 3 - 0 * 0, 3 * 4 - (-4) * 3) = (0, 0, 24).

Теперь мы можем найти косинус угла между нормальными векторами плоскостей:

cos(θ) = (Нормальный вектор АКС * Нормальный вектор АВС) / (|Нормальный вектор АКС| * |Нормальный вектор АВС|).

Вычислив это значение, мы получим угол между плоскостями АКС и АВС.