Question

Докажите, что биссектриса внешнего угла, расположенная у вершины равнобедренного треугольника параллельна основанию.​

Answer 1

Для начала, давайте определим, что такое биссектриса внешнего угла и как она связана с равнобедренным треугольником.

Биссектриса внешнего угла - это прямая, которая делит внешний угол треугольника пополам и пересекает продолжение одной из его сторон.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть P - вершина угла внешнего угла, а Q - точка пересечения биссектрисы внешнего угла с продолжением стороны AC (см. рисунок ниже).

bashCopy code
       B
       /\
      /  \
     /    \
    /__P___\
 C /_______\ Q

Нам нужно доказать, что биссектриса внешнего угла, проведенная из вершины P, параллельна основанию BC.

Для доказательства этого факта, мы можем использовать следующий аргумент:

1. Из равенства сторон AB и AC (так как треугольник равнобедренный) следует, что угол BAC также равен. То есть, ∠BAC = ∠BCA.

2. Так как биссектриса угла BCP делит угол BCP пополам, то ∠PCQ = ∠PCB.

3. По свойству угловых накрест лежащих, если ∠PCQ = ∠PCB и ∠BAC = ∠BCA, то уголы PCQ и BAC равны между собой: ∠PCQ = ∠BAC.

4. Рассмотрим параллельные прямые PC и BQ (по свойству биссектрисы и её пересечения с продолжением стороны AC). Тогда, так как уголы PCQ и BAC равны, уголы PCQ и QBC также равны, так как это соответственные углы при параллельных прямых.

Из равенства углов PCQ и QBC следует, что биссектриса внешнего угла, проведенная из вершины P, параллельна основанию BC.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса внешнего угла, проведенная из вершины P равнобедренного треугольника ABC, действительно параллельна его основанию BC.