Question

Треугольник вписана окружность. Вычисли неизвестные углы, если ∢ NMO = 40° и ∢ LNO = 42°.

Answer 1

Центр вписанной в треугольник окружности О — точка пересечения биссектрис треугольника  ⇒  MO, NO, LO — биссектрисы углов M, N и L соответственно.

∠NMO = ∠LMO = 40°,  ⇒  ∠M = 40*2 = 80°

∠LNO = ∠MNO = 42°,  ⇒  ∠N = 42*2 = 84°

∠L = 180−(∠M+∠N) = 180−(80+84) = 180−164 = 16°  ⇒  

⇒  ∠MLO = ∠NLO = ∠L/2 = 16/2 = 8°

Answer 2

Если треугольник вписан в окружность, то сумма всех его углов равна 180 градусов. Кроме того, для центрального угла вписанного треугольника угол между хордой и радиусом равен удвоенному углу половины этой хорды.

Известно, что угол ∢NMO = 40° и угол ∢LNO = 42°. Давайте обозначим углы в треугольнике следующим образом:

∢NMO = α (40°) ∢LNO = β (42°) ∢MON = γ (угол в центре окружности, напротив хорды LN)

Так как треугольник вписанный, то сумма всех углов в нем равна 180°:

α + β + γ = 180°

С учетом известных значений α и β, подставим их:

40° + 42° + γ = 180°

82° + γ = 180°

Теперь выразим γ:

γ = 180° - 82° γ = 98°

Таким образом, угол ∢MON (γ) равен 98°.

Поскольку угол в центре равен удвоенному углу половины хорды LN, можно записать:

γ = 2 * ∢LNO

Подставив значение ∢LNO:

98° = 2 * 42°

Это равенство верно, так что наши вычисления подтверждаются.

Итак, у нас есть следующие известные значения углов: ∢NMO = 40° ∢LNO = 42° ∢MON = 98°