Question

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол B относится к углу D как 1 к 5 а угол А меньше угла С в 2 раза найти градусные меры всех углов четырёхугольника

Answer 1

Дано:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

∠В : ∠D = 1 : 5

∠A < в 2 раза ∠С.

Найти:

∠А - ? ;  ∠В - ? ;  ∠С - ? ;  ∠D - ? .

Решение:

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Около четырёхугольника ABCD описана окружность, по условию ⇒ ∠B + ∠D = 180˚; ∠A + ∠C = 180°.

Найдём ∠B и ∠D:

Пусть х - ∠В, тогда 5х - ∠D. (∠B : ∠D = 1 : 5, по условию)

Как я написала ранее, ∠B + ∠D = 180˚, по свойству.

х + 5х = 180

6х = 180

х = 30

30° - ∠B.

⇒ ∠D = 30˚ * 5 = 150˚.

Найдём ∠А и ∠С:

Пусть х - ∠А, тогда 2х - ∠С.

Как я написала ранее, ∠А + ∠С = 180°, по свойству.

х + 2х = 180

3х = 180

х = 60

60° - ∠А.

⇒ ∠С = 60° * 2 = 120°

Ответ: 30°; 150°; 60°; 120°.

Answer 2

Давайте обозначим градусные меры углов следующим образом:

• Угол B: x градусов
• Угол D: 5x градусов
• Угол A: 2y градуса
• Угол C: y градусов

Мы знаем, что сумма углов вписанного четырёхугольника равна 360 градусов. Из этого можно составить уравнение:

x + 5x + 2y + y = 360

Суммируя коэффициенты при x и y:

6x + 3y = 360

Теперь мы знаем, что угол B относится к углу D как 1 к 5:

x / 5x = 1 / 5

Это также можно упростить до:

1 / 5 = x / 5x

Отсюда следует, что:

x = 1

Теперь мы можем вернуться к уравнению:

6x + 3y = 360

Подставив значение x:

6 * 1 + 3y = 360

6 + 3y = 360

Теперь решим это уравнение относительно y:

3y = 360 - 6

3y = 354

y = 354 / 3

y = 118

Таким образом, мы нашли, что угол A равен 2y = 2 * 118 = 236 градусов, а угол C равен y = 118 градусов.

Суммируя все углы:

Угол A = 236 градусов Угол B = 1 градус Угол C = 118 градусов Угол D = 5 * 1 = 5 градусов

Проверим сумму:

236 + 1 + 118 + 5 = 360

Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов, что верно.