Question

В3..Вычислите объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями у=√х, у=0, х=4.

Answer 1

Ответ:

конус

Объяснение:

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного в результате вращения фигуры вокруг оси OX, мы можем использовать метод цилиндровых оболочек или метод шайб.

Сначала определим границы интегрирования по оси OX. Фигура ограничена линиями у=√х, у=0 и х=4. Таким образом, x изменяется от 0 до 4.

Используем метод цилиндровых оболочек:

1. Разделим фигуру на малые элементы шириной dx.
2. Для каждого элемента по оси OX найдем соответствующую высоту y, используя у=√х.
3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра, образованного элементом, как S = 2πxy.
4. Проинтегрируем S от x=0 до x=4, чтобы получить объем V: V = ∫(0 to 4) 2πxy dx.

Выполним последовательные шаги для вычисления объема:

V = ∫(0 to 4) 2πxy dx = 2π ∫(0 to 4) x√x dx

Для упрощения интеграла воспользуемся заменой переменной, где u = x^(3/2), а du = (3/2)x^(1/2) dx:

V = 2π ∫(0 to 4) x√x dx = 2π ∫(0 to 4) u du = 2π [u^2/2] (0 to 4) = 2π (4^2/2 - 0^2/2) = 2π (8) = 16π

Таким образом, объем тела, полученного в результате вращения фигуры вокруг оси OX, равен 16π.