Question

7. Коло, вписане в прямокутну трапецію, поділяє точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 3 см і 12 см. Знайдіть висоту трапеції.

Answer 1

Ответ:12см

Объяснение:BK=NB=3см, КА=PA=12cм (как касательные что выходят из одной точки)

BA=BK+KA=15см

NB=PF=3см

FA=PA-PF=9см

Рассмотрим треугольник BFA, угол BFA=90°

За теоремой Пифагора: BA^2=BF^2+FA^2

BF=√BA^2-FA^2=√225-81=√144=12см

Answer 2

Нехай ABDC - прямокутна трапеція, де AB - менша основа, CD - більша основа, BC і AD - бічні сторони, причому AB || CD і ∠ADC = 90°.

Нехай P - точка дотику кола, яке вписане в трапецію, до більшої бічної сторони CD.

Задано, що точка P розділяє CD на два відрізки: PC = 3 см і PD = 12 см.

Так як коло вписане в трапецію, то промені, проведені з центра кола до точок дотику на сторонах трапеції, є перпендикулярними до цих сторін.

Позначимо центр кола як O.

Так як OP перпендикулярний до CD, то OP є висотою трапеції.

Оскільки промені, проведені з центра кола до точок дотику, розділяють їх на рівні відрізки, то OP розділяє CD навпіл. Тобто CP = DP = 7.5 см.

Тепер у нас утворюється прямокутний трикутник OCP.

Використовуючи теорему Піфагора для цього трикутника, ми можемо знайти висоту OP:

OP^2 = OC^2 - CP^2, OP^2 = R^2 - CP^2, OP^2 = R^2 - (7.5 см)^2, OP = √(R^2 - 56.25 см^2),

де R - радіус кола.

Тепер ми повинні знайти вираз для радіуса R.

Так як коло вписане в трапецію, то радіус кола R є відстанню від центра кола до сторінки трапеції. В даному випадку, це є відстань від центра кола O до більшої основи CD.

Знаючи, що OP розділяє CD навпіл, то ми отримуємо, що CO = 0.5 * CD = 0.5 * (12 см) = 6 см.

Тепер ми можемо виразити радіус R як гіпотенузу прямокутного трикутника OCO', де O' - середина CD:

R^2 = CO^2 + O'O^2, R^2 = (6 см)^2 + (AB / 2)^2.

Ми знаємо, що AB = CP + PD = 7.5 см + 7.5 см = 15 см.

Підставивши це значення, отримаємо:

R^2 = (6 см)^2 + (15 см / 2)^2, R^2 = 36 см^2 + 56.25 см^2, R^2 = 92.25 см^2, R = √92.25 см, R = 9.6 см.

Тепер підставимо значення радіуса в попередній вираз для OP:

OP = √(R^2 - 56.25 см^2), OP = √(9.6 см)^2 - 56.25 см^2, OP = √92.16 см^2 - 56.25 см^2, OP = √35.91 см^2, OP ≈ 5.99 см.

Отже, висота трапеції OP приблизно дорівнює 5.99 см.