Question

Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 17 и 8, а её основание относятся как 2:5. Найдите площадь трапеции ​

Answer 1

Проведём из вершины угла ∠ADC высоту DE на основание ВС трапеции ABCD. По свойству прямоугольной трапеции она равна меньшей боковой стороне АВ.

Пусть основание AD = 2х, тогда основание ВС = 5х.

Рассмотрим четырёхугольник ABED. У него все углы прямые, значит, четырёхугольник ABED - прямоугольник.

Противоположные стороны прямоугольника равны. АD = ВЕ = 2х. Следовательно, отрезок основания ЕС = 5х-2х = 3х.

Рассмотрим прямоугольный ΔDEC.

По теореме Пифагора -

DE²+EC² = DC²

EC² = DC²-DE²

Подставим в формулу известные нам значения -

(3х)² = 17²-8²

9х² = 289-64

9х² = 225

х² = 25

х₁ = -5 - не удовлетворяет условию.

х₂ = 5 - подходит.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований и высоты.

Полусумма оснований = 0,5*(2х+5х) = 0,5*(2*5+5*5) = 0,5*(10+25) = 17,5.

Высота = 8.

Площадь трапеции = 17,5*8 = 140 (ед²).

Ответ: 140 (ед²).

Answer 2

Давайте обозначим боковые стороны трапеции как $a$ и $b$, а её основание — как $c$. Также у нас есть соотношение между основаниями: $c_1 : c_2 = 2 : 5$.

Из данного нам соотношения мы можем записать, что:

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{5}$.

Поскольку сумма боковых сторон трапеции равна сумме её оснований, мы можем записать:

$a + b = c_1 + c_2$.

Мы знаем, что $c_1 = 17$ и $c_2 = 8$, так как боковые стороны равны 17 и 8. Подставив эти значения в уравнение, мы получим:

$a + b = 17 + 8$, $a + b = 25$.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для площади трапеции:

$S = \frac{h \cdot (c_1 + c_2)}{2}$,

где $h$ — высота трапеции, а $c_1 + c_2$ — сумма оснований.

Мы видим, что $c_1 + c_2 = 17 + 8 = 25$.

Для вычисления площади нам необходимо найти высоту трапеции. Мы можем воспользоваться подобием треугольников: треугольники, образованные высотой и боковыми сторонами трапеции, подобны друг другу. Из этого подобия следует, что отношение высоты к боковой стороне в большем треугольнике такое же, как и в меньшем треугольнике:

$\frac{h}{b} = \frac{h_1}{c_1}$,

где $h_1$ — высота меньшего треугольника.

Подставим известные значения: $b = 8$ и $c_1 = 17$, и найдем $h_1$:

$\frac{h}{8} = \frac{h_1}{17}$, $h_1 = \frac{17h}{8}$.

Теперь мы можем выразить высоту большего треугольника через $h$:

$h = h_1 + h_2$, $h = \frac{17h}{8} + h_2$.

Выразим $h_2$:

$h_2 = h - \frac{17h}{8}$, $h_2 = \frac{8h - 17h}{8}$, $h_2 = \frac{-9h}{8}$.

Теперь, когда у нас есть высота $h_2$, мы можем подставить её в формулу для площади:

$S = \frac{h \cdot (c_1 + c_2)}{2}$, $S = \frac{h \cdot 25}{2}$.

Мы видим, что площадь трапеции зависит от $h$, которое мы выразили как $\frac{-9h}{8}$. Так как у нас нет точных числовых значений для боковой стороны $a$, высоты $h$ или площади $S$, мы не можем точно найти площадь трапеции без дополнительных данных.