Question

доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А (3; 5), B(-1; -1), C(-7; -5) i D(-3; 1) є ромбом.

Answer 1

Ромб – это четырёхугольная геометрическая фигура, все стороны которой равны.

Находим длины сторон.

Вектор a (АВ)  

x y

-4 -6

16 36

52

Модуль 7,2111.

Вектор c (BC)  

x y

-6 -4

36 16

52

Модуль 7,2111.

Вектор d (CD)  

x y

4 6

16 36

52

7,2111.

Вектор e (АD)  

x y

-6 -4

36 16

52

7,2111.

Как видим, все стороны равны - доказано, что фигура - ромб.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом, ми повинні переконатися, що всі його сторони мають однакову довжину і протилежні сторони паралельні.

Спершу знайдемо довжини сторін чотирикутника за допомогою формули відстані між двома точками:

1. Довжина сторони AB: AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²) = √((-1 - 3)² + (-1 - 5)²) = √((-4)² + (-6)²) = √(16 + 36) = √52

2. Довжина сторони BC: BC = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)²) = √((-7 + 1)² + (-5 + 1)²) = √((-6)² + (-4)²) = √(36 + 16) = √52

3. Довжина сторони CD: CD = √((x_D - x_C)² + (y_D - y_C)²) = √((-3 + 7)² + (1 + 5)²) = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52

4. Довжина сторони DA: DA = √((x_A - x_D)² + (y_A - y_D)²) = √((3 + 3)² + (5 - 1)²) = √(6² + 4²) = √(36 + 16) = √52

Отже, всі чотири сторони мають однакову довжину √52.

Тепер перевіримо, чи протилежні сторони паралельні за допомогою обчислення коефіцієнта направляючого для відповідних векторів:

1. Вектор AB: (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-1 - 3, -1 - 5) = (-4, -6)
2. Вектор BC: (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-7 - (-1), -5 - (-1)) = (-6, -4)
3. Вектор CD: (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-3 - (-7), 1 - (-5)) = (4, 6)
4. Вектор DA: (x_A - x_D, y_A - y_D) = (3 - (-3), 5 - 1) = (6, 4)

Можна побачити, що вектори AB та CD мають однакові значення, а також вектори BC та DA мають однакові значення. Це свідчить про те, що протилежні сторони паралельні.

Отже, ми переконались, що всі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину, і протилежні сторони паралельні. Таким чином, чотирикутник ABCD є ромбом.