Question

Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(-1; 5), B(4; 6), С(3; 1) і D(-2; 0) є ромбом.​ ДАМ 30 БАЛОВ​

Answer 1

Признаки ромба - равенство сторон и неравенство диагоналей.

1) Расчет длин сторон:

АВ  = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √26 ≈  5,099019514.

BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √26 ≈ 5,099019514.

СД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²) = √26 ≈ 5,099019514.

AД = √((Хд-Хa)²+(Уд-Уa)²) = √26 ≈ 5,099019514.

2) Длины диагоналей.

AC  = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √32 ≈  5,656854249.

BД = √((Хд-Хb)²+(Уд-Уb)²) = √72 ≈  8,485281374.

Как видим - все признаки совпали.

Ответ: доказано, что чотирикутник ABCD есть ромб.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом, нам потрібно переконатися, що всі чотири сторони рівні і що всі кути чотирикутника прямі кути.

1. Визначимо довжини сторін чотирикутника ABCD, використовуючи координати вершин:

   Сторона AB: AB = √[(4 - (-1))^2 + (6 - 5)^2] = √[(5)^2 + (1)^2] = √(25 + 1) = √26

   Сторона BC: BC = √[(3 - 4)^2 + (1 - 6)^2] = √[(-1)^2 + (-5)^2] = √(1 + 25) = √26

   Сторона CD: CD = √[(-2 - 3)^2 + (0 - 1)^2] = √[(-5)^2 + (-1)^2] = √(25 + 1) = √26

   Сторона DA: DA = √[(-1 - (-2))^2 + (5 - 0)^2] = √[(1)^2 + (5)^2] = √(1 + 25) = √26

2. Тепер переконаймося, що всі кути чотирикутника ABCD прямі кути. Це можна зробити, розглядаючи нахилі сторін відносно осей координат.

   AB має нахил (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 5) / (4 - (-1)) = 1 / 5.

   BC має нахил (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 6) / (3 - 4) = (-5) / (-1) = 5.

   CD має нахил (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - 1) / (-2 - 3) = (-1) / (-5) = 1 / 5.

   DA має нахил (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 0) / (-1 - (-2)) = 5 / 1 = 5.

Оскільки всі чотири сторони мають однакові довжини (AB = BC = CD = DA) і всі кути чотирикутника є прямими кутами, то чотирикутник ABCD є ромбом.