Question

FM - висота трикутника XFK у якого XFM = 45 K= 30 FK = 30см. Знайти довжину відрізка XM

Answer 1

Рішення:

1) Розглянемо Δ FMK:

FM⊥MK, так як FM ⊥ XK (MK ∈ XK)  ⇒  Δ FMK —  прямий, ∠FMK = 90°.

FM = FK/2 = 30/2 = 15 см, так як катет FM лежить навпроти кута в 30°.

2) Розглянемо Δ FMX:

Δ FMX — прямий, т.я. ∠FMX = 90° (FM⊥XM, XM∈XK)

∠FXM = 90−∠XFM = 90−45 = 45°  ⇒  Δ FMX — рівнобедрений/

FM = XM = 15 см

Відповідь: XM = 15 см.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться використовувати теорему косинусів. Теорема косинусів стверджує, що для будь-якого трикутника зі сторонами a, b і c та кутом α проти сторони a, косинус цього кута можна знайти за формулою:

cos(α) = (b² + c² - a²) / (2bc)

У нашому випадку, нам дано трикутник XFK зі сторонами XF = 45, FK = 30 і XK = 30 (для зручності ми позначимо сторони таким чином).

Ми шукаємо довжину відрізка XM. Застосуємо теорему косинусів до кута XFK:

cos(XFK) = (KF² + XF² - XK²) / (2 * KF * XF)

Підставляючи відомі значення:

cos(XFK) = (30² + 45² - 30²) / (2 * 30 * 45) cos(XFK) = (900 + 2025 - 900) / 2700 cos(XFK) = 1125 / 2700 cos(XFK) ≈ 0.41667

Тепер знайдемо значення кута XFK, використовуючи обернену функцію косинуса (арккосинус):

XFK ≈ cos^(-1)(0.41667) XFK ≈ 63.43°

Ми знаємо кут XFK та сторони XF і XK, і застосуємо знову теорему косинусів для знаходження довжини XM:

cos(XFM) = (XM² + XF² - FM²) / (2 * XM * XF)

Підставляючи відомі значення:

cos(45°) = (XM² + 45² - FM²) / (2 * XM * 45) cos(45°) = (XM² + 2025 - FM²) / (90 * XM)

Тут нам потрібно отримати значення довжини відрізка FM. Ми можемо знайти його, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника XFM:

FM² = XF² + XM²

Підставляючи значення:

FM² = 45² + XM²

Тепер підставляємо вираз для FM² в попередню формулу:

cos(45°) = (XM² + 2025 - (45² + XM²)) / (90 * XM) cos(45°) = (2025 - 2025) / (90 * XM) cos(45°) = 0 / (90 * XM) cos(45°) = 0

Таким чином, ми бачимо, що cos(45°) = 0, що означає, що в цьому випадку XFM = 90° і трикутник XFM є прямокутним.

Отже, відрізок XM є гіпотенузою прямокутного трикутника XFM. Ми вже знаємо довжини катетів: XF = 45 і XK = 30. Застосуємо теорему Піфагора:

XM² = XF² + XK² XM² = 45² + 30² XM² = 2025 + 900 XM² = 2925

Тепер знайдемо довжину відрізка XM:

XM = √2925 XM ≈ 54.08

Отже, довжина відрізка XM приблизно дорівнює 54.08 см.