Question

4. Равнобедренный треугольник ABC вписан в окружность. Основание треугольника АC равно радиусу окружности. Найдите величины дуг AC, AB и BC

Answer 1

Дано :

∆АВС — равнобедренный, вписан в окружность.

АС — основание = радиус описанной окружности.

Найти :

∪АС = ?

∪АВ = ?

∪ВС = ?

Решение :

• Если хорда равна радиусу окружности, то она стягивает дугу в 60°.

АС — хорда описанной окружности, поэтому ∪АС = 60° (по выше сказанному).

∠АВС — вписанный (по определению).

По свойству вписанных углов —

∠АВС = 0,5*∪АС

∠АВС = 0,5*60°

∠АВС = 30°.

• Углы у основания равнобедренного треугольника равны.

Поэтому, по теореме о сумме углов треугольника —

∠АСВ = ∠ВАС = 0,5*(180° - ∠АВС) = 0,5*(180° - 30°) = 0,5*150° = 75°.

Причём ∠АСВ и ∠ВАС — вписанные по определению.

• Равные вписанные углы опираются на равные дуги.

Тогда —

∪АВ = ∪ВС = 2*∠ВАС = 2*75° = 150°.

Ответ :

60°, 150°, 150°.

Answer 2

Поскольку треугольник ABC равнобедренный и вписанный в окружность, это означает, что стороны AB и BC равны, а угол BAC равен углу BCA. Основание AC также равно радиусу окружности.

Пусть радиус окружности равен R.

1. Дуга AC: Поскольку дуга AC находится внутри равнобедренного треугольника, то угол между хордой AC и дугой AC (угол BAC или BCA) равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге. Следовательно, угол BAC = угол BCA = 180° / 2 = 90°.

Так как дуга AC соответствует углу 90°, то её длина равна четверти длины окружности (по определению дуги в градусах), то есть 1/4 * 2πR = 1/2πR.

2. Дуга AB: Угол между хордой AB и дугой AB также равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге. Этот угол также равен 90°, так как треугольник ABC равнобедренный.

Следовательно, дуга AB также имеет длину 1/2πR.

3. Дуга BC: Поскольку дуга BC соответствует углу 90°, её длина также равна 1/2πR.

Итак, величины дуг AC, AB и BC равны:

• Дуга AC: 1/2πR
• Дуга AB: 1/2πR
• Дуга BC: 1/2πR