Question

Треугольник ABC-остроугольный,отрезки AA1 ,BB1,CC1- его высоты ,H-точка пересечения высот.Докажите что середины отрезков AH,BH,CH лежат на описанной окружности треугольника A1,B1,C1

Answer 1

Ответ:

Доказательство :

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством описанной окружности треугольника.

Согласно свойству описанной окружности, ортогональность высот треугольника означает, что точка пересечения высот (H) является центром описанной окружности треугольника ABC.

Далее, заметим, что середины отрезков AH, BH и CH делят соответствующие высоты AA1, BB1 и CC1 пополам. Обозначим середины отрезков AH, BH и CH как M, N и P соответственно.

Так как H является центром описанной окружности треугольника ABC, и M, N и P делят высоты пополам, то M, N и P лежат на радиусах, проведенных из центра окружности H.

Следовательно, треугольник A1B1C1 является определенным подобным треугольником ABC, так как его стороны параллельны сторонам ABC и соответственно в два раза меньше по длине.

Так как M, N и P лежат на радиусах окружности H, а треугольник A1B1C1 является подобным треугольнику ABC, то середины отрезков AH, BH и CH лежат на описанной окружности треугольника A1B1C1.

Таким образом, мы доказали, что середины отрезков AH, BH и CH лежат на описанной окружности треугольника A1B1C1.