Question

сума двох вертикальних кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 180 градусів. Доведіть , що ці прямі перпендикулярні

Answer 1

∠1=∠3, як вертикальні

∠1=180°/2=90°

Цього достатньо, але можна ще й:

∠1+∠2=180°     90°+∠2=180°     ∠2=180°-90°     ∠2=90°

∠2=∠4, як вертикальні

∠1=∠2=∠3=∠4=90°⇒ прямі перпендикулярні

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо дві прямі $AB$ та $CD$, які перетинаються, утворюючи два вертикальні кути. Нехай ці кути позначаються як $\angle A$ та $\angle C$.

Згідно з умовою, сума двох вертикальних кутів дорівнює 180 градусів, тобто:

$$\angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{(1)}$$

Припустимо, що прямі $AB$ та $CD$ не є перпендикулярними. Тоді вони мають спільний кут (не 90 градусів), і ми можемо розглянути їх як дві непаралельні прямі, що перетинаються.

Знову розглянемо трикутник $ABC$, де $\angle A$ і $\angle C$ - це вертикальні кути, і $\angle B$ - це кут між прямими $AB$ та $BC$. Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів, то:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \quad \text{(2)}$$

Порівнюючи вирази (1) та (2), отримуємо:

$$\angle A + \angle C = \angle A + \angle B + \angle C$$

Спрощуючи це рівняння, отримуємо:

$$\angle B = 0^\circ$$

Це означає, що кут $\angle B$ між прямими $AB$ та $BC$ дорівнює нулю градусів. Однак це неможливо, оскільки кут між непаралельними прямими не може дорівнювати нулю градусів.

Таким чином, наше припущення, що прямі $AB$ та $CD$ не є перпендикулярними, є невірним. Отже, ми приходимо до висновку, що прямі $AB$ та $CD$ повинні бути перпендикулярними.