Question

На стороне AC треугольника ABC нашлась такая точка E, что ∠ABE=90∘ и AE=2BC. Найдите угол ABC, если ∠BAC=24∘.

Answer 1

Ответ:

∠АВС = 108°.

Объяснение:

По рисунку:

В прямоугольном треугольнике АВЕ по сумме острых углов

∠ВЕА =  90-24 = 66°.

∠ВЕС = 90+24 = 114° (как внешний угол треугольника АВЕ.

В треугольнике ВЕС по теореме синусов имеем:

ВС/Sin114 = BE/SinC.  =>  SinC = BE·Sin114/BC.  (1)

В прямоугольном треугольнике AВЕ имеем:

ВЕ = АЕ·Sin24.  Но АЕ = 2·ВС.  Тогда

ВЕ = 2ВС·Sin24.  Подставим это значение в (1):

SinC = 2·Sin24·Sin114.

Заметим, что Sin24 = Sin(90 - 66) = Cos66, а

Sin114 = Sin(180-66) = Sin66. Тогда

2·Sin24·Sin114 = 2·Cos66·Sin66, а это формула двойного угла:

Sin(2·66) = 2·Sin66·Cos66.

Итак, SinC = Sin(2·66) = Sin132  и следовательно, ∠С = 132°.  

В треугольнике СВЕ два тупых угла быть не может, но зная, что

Sin(180-a) = Sina, получим ∠С = 180 - 132 = 48°.

По сумме внутренних углов треугольника СВЕ имеем:

∠СВЕ = 180 - 114-48 = 18°. Тогда

∠АВС = ∠АВЕ + ∠СВЕ = 90 +18 = 108°.

∠СВЕ = 180 - 114 = 108°.

Answer 2

По условию задачи у нас есть треугольник ABC, в котором угол BAC равен 24 градусам. Точка E лежит на стороне AC так, что угол ABE составляет 90 градусов, а длина отрезка AE равна 2BC.

Давайте обозначим угол ABC как x градусов.

Так как угол ABE является прямым углом, мы можем рассмотреть треугольник ABE. Так как угол ABE равен 90 градусам, сумма углов ABE и BAE также должна быть равна 90 градусам.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом, угол BAE равен:

BAE = 180 - ABE - BAE BAE = 180 - 90 - x BAE = 90 - x

Мы также знаем, что AE = 2BC. Так как треугольник BAE подобен треугольнику ABC (по общему углу BAE и общей стороне AB), мы можем написать следующее соотношение длин сторон:

AE / AB = BAE / BAC 2BC / AB = (90 - x) / 24

Решим это уравнение относительно x:

2BC * 24 = AB * (90 - x) 48BC = AB * (90 - x) AB = 48BC / (90 - x)

Теперь мы можем воспользоваться условием, что длина AE равна 2BC:

AE = 2BC AB - BE = 2BC 48BC / (90 - x) - BE = 2BC 48BC = 2BC + BE * (90 - x) 46BC = BE * (90 - x)

Теперь мы можем выразить BE через BC и x:

BE = 46BC / (90 - x)

Поскольку треугольник BAE подобен треугольнику ABC, отношение сторон должно быть одинаковым:

BA / BC = BE / AB

Подставим значения BE и AB:

BA / BC = (46BC / (90 - x)) / (48BC / (90 - x))

Теперь сократим BC и (90 - x):

BA / 48 = 46 / 48

Отсюда следует, что BA = BC.

Таким образом, у нас получается равнобедренный треугольник ABC, и угол ABC равен углу BCA.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам:

ABC + BCA + BAC = 180 x + x + 24 = 180 2x + 24 = 180 2x = 180 - 24 2x = 156 x = 78

Итак, угол ABC равен 78 градусам.