Question

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника — 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника. Буду благодарен за подробное решение без рисунка.

Answer 1

Ответ: r=2 см, треугольник

Объяснение: Задача, надеюсь заинтересует многих, поэтому все же дам рисунок.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Радиус окружности, вписанной в многоугольник (внутренняя окружность), связан с радиусом описанной окружности (внешней окружности) и длиной стороны многоугольника следующим образом:

$r_{\text{впис.}} = \frac{r_{\text{опис.}}}{2} \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right),$

где $r_{\text{опис.}}$ - радиус описанной окружности, $n$ - количество сторон многоугольника.

Из условия задачи известно, что $r_{\text{опис.}} = 4 \ \text{см}$ и сторона многоугольника $a = 4\sqrt{3} \ \text{см}$. Также известно, что длина стороны многоугольника связана с радиусом описанной окружности следующим образом:

$a = 2 \cdot r_{\text{опис.}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right).$

Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти $n$:

$n = \frac{\pi}{\arcsin\left(\frac{a}{2 \cdot r_{\text{опис.}}}\right)}.$

Подставляя известные значения, получаем:

$n = \frac{\pi}{\arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot 4}\right)}.$

Вычислим значение $n$:

$n = \frac{\pi}{\arcsin\left(\sqrt{3}/2\right)} = \frac{\pi}{\pi/3} = 3.$

Таким образом, многоугольник имеет 3 стороны.

Теперь, используя найденное значение $n$, мы можем найти радиус вписанной окружности:

$r_{\text{впис.}} = \frac{r_{\text{опис.}}}{2} \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{4}{2} \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \sqrt{3}.$

2. Мы уже выяснили, что многоугольник имеет 3 стороны, следовательно, это треугольник.

Итак, ответы на вопросы:

1. Радиус вписанной окружности: $r_{\text{впис.}} = 2 \cdot \sqrt{3}\ \text{см}$.
2. Количество сторон многоугольника: $n = 3$ (треугольник).