Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, биссек- триса АК в 2 раза больше расстояния от точки К до пря-мой AB. Гипотенуза АВ = 32 см. Найдите катет АС.​

Answer 1

Надеюсь, что смог помочь тебе.

Answer 2

Пусть точка D - середина гипотенузы AB. Так как биссектриса AD делит угол C пополам, то AD является медианой и высотой треугольника ABC.

Также, по условию, расстояние от точки K до прямой AB равно x, и расстояние от точки K до точки D (середины гипотенузы) равно 2x.

Согласно теореме Пифагора для треугольника ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2

Подставив известные значения и обозначив катет AC как c, получим: 32^2 = c^2 + (2x)^2

Раскроем скобки во втором слагаемом: 32^2 = c^2 + 4x^2

Также, по свойству медианы треугольника, отношение длины медианы к половине длины основания равно 2:1: AD = 2 * KD

Используя теорему Пифагора для треугольника ADK: AD^2 = AK^2 + KD^2

Подставив известные значения и заменив AK на c (ведь AK = AC), получим: (2x)^2 = c^2 + x^2

Упростим это уравнение: 4x^2 = c^2 + x^2

Теперь мы имеем систему из двух уравнений: 32^2 = c^2 + 4x^2 4x^2 = c^2 + x^2

Решим второе уравнение относительно c^2: c^2 = 3x^2

Подставим это значение в первое уравнение: 32^2 = 3x^2 + 4x^2

Упростим: 32^2 = 7x^2

Теперь найдем x^2: x^2 = (32^2) / 7

Вычислим это значение: x^2 = 128

Теперь найдем x: x = √128 = 8√2

Теперь найдем c^2: c^2 = 3x^2 = 3 * 128 = 384

Наконец, найдем c (катет AC): c = √384 = 8√6

Таким образом, длина катета AC равна 8√6 см.