Question

СРОООООЧНОООООООО ДАЮ25 БАЛЛОВ Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию в отношении 5 : 2, считая от вершины, а основание равно 36,4 см.

Answer 1

Ответ:

Фото

Объяснение:

Answer 2

Пусть ABC - это равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, и M - это точка, где высота проведена к основанию BC. По условию, известно, что отношение HM к AM равно 5:2, где H - вершина треугольника.

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике высота проведена из вершины до основания и пересекает основание под прямым углом. Это также означает, что центр вписанной окружности находится на пересечении высоты и основания.

Пусть O - центр вписанной окружности, и точка пересечения высоты HM с основанием BC равна D.

Так как O делит HM в отношении 5:2, то можно записать:

HM = 5x AM = 2x

Также известно, что треугольник AOH подобен треугольнику HDM. Это следует из того, что оба треугольника имеют прямой угол и общий угол при вершине H.

Следовательно, мы можем записать отношение соответствующих сторон:

AH / HD = AO / DM

AH = AO * HD / DM

Теперь мы можем выразить AH и HD через x:

AH = AM + HM = 2x + 5x = 7x HD = HM - DM = 5x - 2x = 3x

Подставляя эти значения в уравнение для AH, получаем:

7x = AO * 3x / DM

DM = AO * 3x / 7x

DM = AO * 3 / 7

Теперь у нас есть связь между DM и AO.

Далее, по теореме Пифагора для треугольника ADO:

AD^2 = AO^2 + OD^2

Так как OD = DM и DM = AO * 3 / 7:

AD^2 = AO^2 + (AO * 3 / 7)^2

AD^2 = AO^2 + 9 * AO^2 / 49

AD^2 = 49 * AO^2 / 49 + 9 * AO^2 / 49

AD^2 = (49 + 9) * AO^2 / 49

AD^2 = 58 * AO^2 / 49

Теперь у нас есть выражение для AD^2 через AO.

Известно, что BD = DC, и BC = 36.4 см, так как треугольник ABC равнобедренный.

BD + DC = BC 2 * BD = 36.4 BD = 36.4 / 2 BD = 18.2 см

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника BDO:

BD^2 = BO^2 + OD^2

BO = BD + AO

BD^2 = (BD + AO)^2 + OD^2

18.2^2 = (18.2 + AO)^2 + AO^2 * 9 / 49

Теперь можно решить это уравнение относительно AO.

330.88 = (18.2 + AO)^2 + 9 * AO^2 / 49

330.88 = 334.84 + 36.4 * AO + AO^2 * 9 / 49

AO^2 * 9 / 49 + 36.4 * AO - 3.96 = 0

9AO^2 + 49 * 36.4 * AO - 3.96 * 49 = 0

9AO^2 + 1786.36AO - 194.04 = 0

Решая это квадратное уравнение относительно AO, получим два решения: одно положительное и одно отрицательное. Так как AO (радиус вписанной окружности) не может быть отрицательным, мы выбираем положительное решение.

Таким образом, находим AO (радиус вписанной окружности) и затем можем найти боковую сторону треугольника:

AO = ( -1786.36 + sqrt(1786.36^2 - 4 * 9 * -194.04) ) / (2 * 9)

AO ≈ 9.68 см

BD = 18.2 см (изначально известное)

Зная BD и AO, можно найти боковую сторону AB:

AB = 2 * AO * tan(α/2), где α - угол при вершине A

Так как треугольник ABC равнобедренный, то α/2 - это угол между боковой стороной и половиной основания. То есть, α/2 = atan(BD / (BC / 2)).

Подставляя значения:

α/2 = atan(18.2 / (36.4 / 2)) ≈ 0.46365 рад

AB = 2 * 9.68 * tan(0.46365) ≈ 8.5 см

Итак, боковая сторона равнобедренного треугольника составляет примерно 8.5 см.