Question

В пятиугольнике ABCDE угол A равен 60∘, а остальные углы равны между собой; ED=2, DC=3. Найдите длину отрезка AB.

Answer 1

BC II AE; (сумма внутренних односторонних .... ну то есть ∠EAB + ∠ABC= 180°).

Если провести CK II AB, (K на AB), то ABCK - параллелограмм. => CK = AB; и еще => ∠ACK = 60°; => ∠DCK = 60°;

=>∠DCK + ∠CDE= 180°; => CK II DE; и по условию ∠CDE = ∠DEA;

=> CDEK - равнобедренная трапеция с углами при меньшем основании 120°, и соответственно, при большем - 60°.

Если теперь провести DM II EK (M на CK), то CDM - правильный треугольник, а DMKE - параллелограмм.

=> CK = CD = 3; MK = DE = 2;

AB = CK = 3+2 = 5;

Answer 2

Поскольку угол A равен 60°, а остальные углы равны между собой, остальные углы пятиугольника ABCDE также равны 60°.

Так как сумма всех углов в пятиугольнике равна (5 - 2) * 180° = 540°, каждый угол в пятиугольнике равен 540° / 5 = 108°.

Рассмотрим треугольник AED. У нас есть два известных отрезка: ED = 2 и DC = 3. Требуется найти длину отрезка AE (или AB).

Мы можем использовать закон синусов для треугольника AED:

$\frac{AE}{\sin(\angle AED)} = \frac{ED}{\sin(\angle ADE)}.$

Так как угол AED равен 108° (как остальные углы пятиугольника), мы можем найти $\sin(108°)$ через $\sin(180° - 108°) = \sin(72°)$, а также $\sin(72°)$ через золотое сечение:

$\sin(72°) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}.$

Угол ADE равен половине угла AED, то есть $108° / 2 = 54°$. Мы знаем, что $\sin(54°)$ также может быть выражено через золотое сечение:

$\sin(54°) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}.$

Теперь мы можем решить уравнение относительно длины отрезка AE:

$\frac{AE}{\frac{\sqrt{5} - 1}{4}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{5} + 1}{4}}.$

Решая это уравнение, мы получаем:

$AE = \frac{8}{\sqrt{5} + 1} = \frac{8(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = 2(\sqrt{5} - 1).$

Отрезок AB будет вдвое длиннее отрезка AE, так как угол A равен 60°:

$AB = 2 \cdot AE = 2 \cdot 2(\sqrt{5} - 1) = 4(\sqrt{5} - 1).$

Итак, длина отрезка AB равна $4(\sqrt{5} - 1)$.