Question

Точка N — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции

Answer 1

Ответ:

Доказательство на рисунке

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим точки:

   • A, B, C, D - вершины трапеции ABCD;
   • N - середина боковой стороны CD.

2. Построим отрезок AN и проведем его параллельно сторонам трапеции. Пусть точка пересечения этой прямой с AB будет точкой M, а с BC - точкой K. Таким образом, получим параллелограмм AMCK.

3. Рассмотрим треугольники ADN и BCN:

   • Треугольник ADN имеет высоту, проведенную из вершины D к основанию AN (точке M);
   • Треугольник BCN имеет высоту, проведенную из вершины C к основанию AN (точке K).

4. Обозначим высоту треугольника ADN как h1, а высоту треугольника BCN как h2.

5. Посмотрим на треугольники ADN и BCN более детально:

   • Площадь треугольника ADN равна (1/2) * AD * h1.
   • Площадь треугольника BCN равна (1/2) * BC * h2.

6. Так как AMCK - параллелограмм, то AM параллельно CK, и AMCK - это трапеция:

   • Площадь трапеции AMCK равна (1/2) * (AM + CK) * h1, так как это сумма площадей двух треугольников.
   • Также, площадь трапеции AMCK равна площади трапеции ABCD.

7. Из равенства площадей трапеций AMCK и ABCD можно получить следующее: (1/2) * (AM + CK) * h1 = (1/2) * (AD + BC) * h1.

8. Делим обе стороны равенства на h1: AM + CK = AD + BC.

9. Поскольку AM и CK - это отрезки, параллельные боковой стороне CD, а N - середина стороны CD, то AM = CK и AD = BC.

10. Таким образом, получаем AM = CK = AD = BC.

11. Подставляем AM и CK в формулу для площади трапеции AMCK: Площадь трапеции AMCK = (1/2) * (AM + CK) * h1 = (1/2) * (AD + BC) * h1.

12. Сравнивая это с площадями треугольников ADN и BCN: (1/2) * (AD + BC) * h1 = (1/2) * AD * h1 + (1/2) * BC * h2.

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей треугольников ADN и BCN действительно равна половине площади трапеции ABCD.