Question

Докажите, что четырёхугольник - ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника.б) равнобедренной трапеции.​

Answer 1

Объяснение:

a) Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы непрямые.

Рассмотрим ∆DAB:

LF - средняя линия треугольника, т.к AF=FB и AL=LD => LF // DB

Рассмотрим ∆BCD:

NK - средняя линия треугольника по таким же признакам, и NK // DB => и // LF.

В ∆ABC и ∆ADC FK // AC // LN по таким же признакам.

Мы знаем, что средняя линия треугольника равна половине основания этого треугольника, и по свойствам прямоугольника: AC=DB => и FK=KN=NL=LF

=> FKNL - ромб по определению. Ч.Т.Д.

б) мы можем свободно использовать равнобедренную трапецию, у которой диагонали равны, => доказательство соответствует пункту a)

Answer 2

Для обоих случаев нам понадобится доказать, что все стороны ромба равны между собой, и что углы ромба прямые.

а) Прямоугольник:

Пусть ABCD - прямоугольник, а E, F, G, H - середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. Докажем равенство сторон ромба: Поскольку ABCD - прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Также, как середины сторон, AE = EC, BF = FC, CG = GD, DH = HA. Теперь мы видим, что по две стороны ромба равны между собой: AE = EC и BF = FC, следовательно, по транзитивности AE = BF. Аналогично, CG = DH. Итак, у нас есть следующие равенства сторон ромба: AE = BF = CG = DH.

2. Докажем, что углы ромба прямые: Мы знаем, что ABCD - прямоугольник, а значит, его углы прямые. Рассмотрим треугольник ABE. Так как AE = BE (по определению середины стороны), и угол AEB прямой (так как ABCD - прямоугольник), то треугольник ABE является прямоугольным по свойству о прямом угле и катетах. Таким образом, у нас есть два прямых угла в ромбе: угол ABE и его смежный угол EBC. Аналогично, в остальных треугольниках у нас также будут прямые углы.

Итак, мы доказали, что углы ромба прямые, и все его стороны равны между собой. Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах сторон прямоугольника является ромбом.

б) Равнобедренная трапеция:

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, а E, F, G, H - середины её сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. Докажем равенство сторон ромба: Равнобедренная трапеция имеет равные основания AB и CD, а также равные углы при вершинах A и B. Это означает, что AB = CD и угол B = углу A. Также, как середины сторон, AE = EC, BF = FC, CG = GD, DH = HA. Теперь, с учетом равенства углов B и A, можно утверждать, что треугольники AEB и BFC равнобедренные. Это означает, что AE = BE и BF = CF, а значит, AE = BE = BF = CF.

2. Докажем, что углы ромба прямые: Поскольку ABCD - равнобедренная трапеция, её диагонали AC и BD равны между собой. Это означает, что треугольники ACD и BDA также равнобедренные. Из этого следует, что угол ACD равен углу CAD, а угол BDA равен углу ADB. Теперь рассмотрим треугольник ABE. У нас уже есть равенство AE = BE, а также угол AEB прямой (так как ABCD - равнобедренная трапеция). Таким образом, треугольник ABE является равнобедренным и прямоугольным, что означает, что углы ABE и BAE также равны. Аналогично можно доказать, что углы EBC, BCF, CDG, и DGA также равны.

Итак, мы доказали, что углы ромба прямые, и все его стороны равны между собой. Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах сторон равнобедренной трапеции также является ромбом.