Question

Площадь основания конуса равна 9П, а площадь боковой поверхности равна 15П. Наидите радиус сферы вписанной в этот конус

Answer 1

S ( основания)=π·R²

 

9π = π·R²    ⇒  R²=9 

    

R = 3 cм - радиус основания конуса

 S( бок) = π·R·L

L- образующая конуса.

15π = π·3·L  ⇒  L=5 cм

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник, с боковыми сторонами L=5 cм и основанием , равным диаметру основания конуса, 6 см

Высота этого треугольника по теореме Пифагора

Н²=5²-3²=25-9=16

Н=4

Сфера, вписана в конус.

Значит ее большая окружность вписана в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

По формуле

Answer 2

Для начала, давайте обозначим несколько величин:

• $S_{\text{осн}}$ - площадь основания конуса
• $S_{\text{бок}}$ - площадь боковой поверхности конуса

Известно, что $S_{\text{осн}} = 9\pi$ и $S_{\text{бок}} = 15\pi$.

Площадь боковой поверхности конуса можно выразить через радиус конуса $r$ и образующую $l$ (высоту боковой стороны):

$S_{\text{бок}} = \pi r l$

Мы знаем, что $S_{\text{бок}} = 15\pi$, поэтому:

$15\pi = \pi r l$

Также у нас есть связь между радиусом $r$, образующей $l$ и высотой конуса $h$ (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, высотой и образующей):

$r^2 + h^2 = l^2$

Нам нужно выразить $h$ через $r$ и $l$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Итак, мы видим, что $h$ - это радиус сферы, вписанной в конус. Теперь давайте найдем выражение для $l$ через известные площади:

Площадь основания конуса $S_{\text{осн}} = \pi r^2$. Таким образом, $r^2 = \frac{S_{\text{осн}}}{\pi}$.

Подставляя это в уравнение для $l$:

$l = \sqrt{\left(\frac{S_{\text{осн}}}{\pi}\right) + r^2}$

Теперь подставим известные значения $S_{\text{осн}} = 9\pi$ и $S_{\text{бок}} = 15\pi$:

$l = \sqrt{\left(\frac{9\pi}{\pi}\right) + r^2} = \sqrt{9 + r^2}$

Таким образом, у нас есть уравнение для $l$, и мы можем выразить радиус сферы $h$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(9 + r^2) - r^2} = \sqrt{9} = 3$

Итак, радиус сферы, вписанной в данный конус, равен 3.