Question

Найдите угол между векторами a {3;1;−2} и b {−2;2; 0}

Answer 1

Ответ:

1) Найдем скалярное произведение векторов:

a·b= a_{x} *b_{x} + a_{y} * b_{y} =2·(-1) +3 · \frac{1}{2} =-2+ \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}

2) Найдем длины векторов:

IaI= \sqrt{ a ^{2} _{x} +a ^{2} _{y}} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}

IbI= \sqrt{ b ^{2} _{x} +b ^{2} _{y}}= \sqrt{1+ \frac{1}{4} } = \sqrt{ \frac{5}{4} } = \frac{ \sqrt{5} }{2}

3) Найдем угол между векторами:

сos α = \frac{a*b}{|a|*|b|} = \frac{ -\frac{1}{2} }{ \sqrt{13}* \frac{ \sqrt{5} }{2} } = -\frac{ \sqrt{65} }{65}

Answer 2

Для нахождения угла между двумя векторами можно использовать следующую формулу:

cos(θ) = (a * b) / (||a|| * ||b||),

где:

• θ - угол между векторами,
• a * b - скалярное произведение векторов,
• ||a|| - длина вектора a (его норма),
• ||b|| - длина вектора b (его норма).

Сначала вычислим скалярное произведение векторов a и b:

a * b = 3 * (-2) + 1 * 2 + (-2) * 0 = -6 + 2 + 0 = -4.

Затем найдем длины векторов a и b:

||a|| = √(3^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(9 + 1 + 4) = √14,

||b|| = √((-2)^2 + 2^2 + 0^2) = √(4 + 4 + 0) = √8 = 2√2.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

cos(θ) = (-4) / (√14 * 2√2) = -4 / (2√14) = -2 / √14.

Чтобы найти угол θ, возьмем обратный косинус (арккосинус) от полученного значения:

θ = arccos(-2 / √14).

Используя калькулятор, мы можем получить численное значение этого угла:

θ ≈ 104.48°.

Таким образом, угол между векторами a {3;1;-2} и b {-2;2;0} составляет приблизительно 104.48 градусов.