Question

На колі розміщені точки А В С так що АС діаметр кола хорду ВС видно з центра кола під кутом 60° знайдіть радіус кола якщо АВ=√3см. Помогите в полном описании с чертежом?

Answer 1

На круге размещены токчи А, В и С так, что АС - диаметр круга, а хорду ВС видно с центра окружности круга под углом в 60°. Найдите радиус круга, если АВ = $\sqrt{3}$ см.

- - -

Дано :

Круг.

Точка О - центр данного круга.

Точка А ∈кругу.

Точка В ∈кругу.

Точка С ∈кругу.

АС - диаметр круга.

∠ВОС = 60°.

АВ = $\sqrt{3}$ см.

Найти :

ОС = ? (или ОА, это неважно, так как они равны).

Решение :

∠АВС - вписанный (по определению), так ещё и опирается на диаметр АС, следовательно, ∠АВС = 90° (так как диаметр "стягивает" дугу в 180°).

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

ОС = ОА (так как радиусы одной окружности). Тогда отрезок ОВ - медиана (по определению), причём проведённая к гипотенузе (АС - гипотенуза, так как лежит против угла в 90°).

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Следовательно -

ОВ = ВС = ОС.

Тогда ΔОВС - равносторонний (по определению).

• Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Следовательно -

∠ВОС = ∠ОВС = ∠С = 60°.

Тогда -

$tg(C)=\frac{AB}{BC}\\\\tg(60)=\frac{\sqrt{3}}{BC}\\\\\sqrt{3} =\frac{\sqrt{3}}{BC}\\\\BC = 1$

BC = 1 см.

Ответ :

1 см.

Answer 2

Задачу можна розв'язати, використовуючи властивості кола та трикутника. Давайте розглянемо її крок за кроком:

1. Нам дано, що $AC$ є діаметром кола. Отже, ми можемо позначити середину $AC$ як точку $O$ - центр кола. Діаметр розділяє коло на дві рівні частини, тобто $AO = OC$.

2. За умовою задачі, кут $VOC$ дорівнює 60°, тому кут $AVB$ також дорівнює 60° (так як це півкут кола, що відповідає центральному куту в діаметральному сеченні).

3. За властивостями рівнобедреного трикутника $AVB$, ми знаємо, що $\angle A = \angle B$ і $AV = BV$.

4. Також, ми можемо помітити, що трикутник $OVA$ є прямокутним, оскільки він складається з півкута $AOV = 30°$ (половина 60°) та прямого кута $VOC = 90°$. Тому, ми можемо використовувати тригонометричні співвідношення для цього трикутника.

5. Давайте позначимо радіус кола як $r$.

6. Оскільки $AV = BV$, тоді $BV = \sqrt{3}$ см.

7. У трикутнику $OVA$, ми можемо використовувати тригонометричний співвідношення для тангенса, оскільки ми знаємо протилежну ($AV = BV = \sqrt{3}$) та прилеглу ($OA = OC = r$) сторони прямокутного кута:

   $\tan(\angle AOV) = \frac{AV}{OA} = \frac{\sqrt{3}}{r}.$

8. Оскільки $\angle AOV = 30°$, ми можемо записати:

   $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{r}.$

9. Значення тангенса 30° відоме: $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

10. Підставляючи це значення, ми отримуємо:

    $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{r}.$

11. Звідси ми можемо знайти значення радіуса $r$:

    $r = \frac{(\sqrt{3})^2}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3.$

Таким чином, радіус кола дорівнює 3 см.

Чертеж для цієї задачі можна намалювати наступним чином:

mathematicaCopy code
             B
            / \
           /   \
          /     \
       AV/       \BV
        /         \
       /           \
      /             \
     /               \
    /                 \
   /___________________\
  O                     C

У цьому чертежі, $O$ - центр кола, $AB = \sqrt{3}$ см, $AV = BV = \sqrt{3}$ см, $AC$ - діаметр кола, $BC = 2r = 6$ см, і кут $BOC = 60°$.