Question

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=4, BC =32 . Найдите AK

Answer 1

Ответ:

AK = 12

Объяснение:

Теорема о касательной и секущей: если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

По теореме AB*AC = AK². Найдем AC: AC = AB + BC = 3 + 32 = 36.

AB*AC = AK²

4*36 = AK²

AK = √4*36 = √4*√36 = 2*6 = 12

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно:

• A – точка вне окружности.
• K – точка касания одной из прямых с окружностью.
• B и C – точки пересечения второй прямой с окружностью.
• AB = 4 – длина отрезка между точками A и B.
• BC = 32 – длина отрезка между точками B и C.

Мы хотим найти длину отрезка AK.

В данной ситуации у нас есть две особенности:

1. Прямая, проходящая через центр окружности и точку касания, перпендикулярна касательной. Это следует из свойства касательной и радиуса окружности, проведенного к точке касания. Таким образом, ∠AKB = 90°.

2. Теорема о секущей и хорде: при пересечении хорды (отрезка BC) и секущей (прямой AK) снаружи окружности произведение длин отрезков секущей на внешнюю часть хорды равно произведению длин внутренних частей хорды. Из этой теоремы следует, что AK * CK = BK * CK (так как AK и BK – внешние части хорды BC, а CK – внутренняя часть хорды BC).

Из свойства перпендикулярности и равенства произведений, получаем, что AK * CK = BK * CK. Сократив CK на обеих сторонах, получаем AK = BK.

Теперь нам нужно найти длину отрезка BK. Мы знаем, что AB = 4 и BC = 32. Также, из равенства треугольников ABK и CBK (по стороне AB и двум углам, прилегающим к стороне AB и BC) следует, что ∠CBK = ∠ABK.

Так как в треугольнике ABK угол ∠AKB = 90°, а ∠ABK = ∠CBK, то треугольники ABK и CBK подобны по стороне AB (гипотенуза) и одному из острых углов.

Из подобия треугольников ABK и CBK следует, что соотношение сторон будет сохраняться:

AB / BK = BK / BC

Подставляя известные значения, получаем:

4 / BK = BK / 32

Теперь решим уравнение относительно BK:

BK^2 = 4 * 32 BK^2 = 128 BK = √128 BK = 8√2

Таким образом, длина отрезка BK (и AK) равна 8√2.