Question

Дано, що площа основи конуса Sосн.=144π кв.од.вим. Знайди площу бічної поверхні конуса, якщо осьовий переріз конуса — рівносторонній трикутник.

Answer 1

Ответ:

S бок. пов = 288 π кв. ед. изм

Объяснение:

решение во вложении

Answer 2

Для вирішення цього завдання нам потрібно використовувати формули для площі бічної поверхні та площі основи конуса, а також знання про осьовий переріз, який є рівностороннім трикутником.

Площа основи конуса обчислюється за формулою: $S_{\text{осн.}} = \pi r_{\text{осн.}}^2,$ де $r_{\text{осн.}}$ - радіус основи конуса.

Маємо: $S_{\text{осн.}} = 144\pi$ (задана площа основи конуса).

Тому: $144\pi = \pi r_{\text{осн.}}^2.$

Розв'язавши це рівняння відносно $r_{\text{осн.}}$, отримаємо радіус основи конуса: $r_{\text{осн.}}^2 = 144 \Rightarrow r_{\text{осн.}} = 12.$

Оскільки осьовий переріз конуса - рівносторонній трикутник, то кожний кут цього трикутника дорівнює $60^\circ$.

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою: $S_{\text{бч}} = \frac{\pi r_{\text{осн.}} l_{\text{бч}}}{2},$ де $l_{\text{бч}}$ - образована від основи до вершини конуса відстань (висота конуса).

Оскільки осьовий переріз - рівносторонній трикутник, то ми можемо знайти висоту конуса, використовуючи геометричні властивості рівностороннього трикутника.

Позначимо вершину конуса як $V$ і середину основи як $M$. Тоді точка $M$ є центром кола, вписаного в основу конуса, і $VM$ - медіана трикутника $VMV'$, де $V'$ - центр вписаного кола.

Оскільки рівносторонній трикутник $VMV'$ є медіаною, то точка $M$ ділить сторону $VV'$ в співвідношенні 2:1. Тобто $VM = \frac{1}{2} VV'$.

Знаючи, що кут при вершині $V$ дорівнює $60^\circ$, можемо вивести, що трикутник $VMV'$ є 30-60-90 трикутником. У такому трикутнику сторона, протилежна куту $60^\circ$, дорівнює половині гіпотенузи. Тобто $VM = \frac{1}{2} VV' = \frac{1}{2} r_{\text{осн.}}$.

Тепер ми знаємо $VM$, і ми можемо знайти висоту конуса $l_{\text{бч}}$ як сторону рівностороннього трикутника $VMV'$: $l_{\text{бч}} = \sqrt{VV'^2 - VM^2} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} r_{\text{осн.}} = \frac{\sqrt{3}}{2} r_{\text{осн.}}.$

Тепер ми можемо обчислити площу бічної поверхні конуса: $S_{\text{бч}} = \frac{\pi r_{\text{осн.}} l_{\text{бч}}}{2} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12}{2} = 18\pi \sqrt{3} \approx 93.53 \, \text{кв. од. вим.}$

Отже, площа бічної поверхні конуса становить приблизно $93.53$ квадратних одиниці виміру.