Question

7 класс, 80 баллов! Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4 : 5, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 104 см.

Answer 1

Ответ:

Боковые стороны: a = 36 см

Основание: b = 32 см

Объяснение:

Пусть боковая сторона

a = 5x + 4x = 9x

Для вписанной фигуры отрезки касательных от пересечения касательных до т. касания равны. Нам известно, что такой отрезок боковой стороны от основания до т. касания = 4x. Тогда длина основания b = 4x + 4x = 8x

Периметр равнобедренного треугольника

P = 2*a + b = 2*(5x + 4x) + (4x + 4x) = 2*9x + 8x = 26x = 104 см

x = 4 см

Боковые стороны: a = 5x + 4x = 9*4 = 36 см

Основание: b = 4x + 4x = 8*4 = 32 см

Answer 2

Обозначим стороны равнобедренного треугольника следующим образом:

• Пусть a - основание треугольника (дважды боковая сторона треугольника).
• Пусть b - боковая сторона треугольника (одна из равных сторон).
• Пусть P - периметр треугольника (в данном случае P = 104 см).

Так как периметр треугольника равен сумме всех его сторон, то: P = a + b + b 104 = a + 2b

Зная, что боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4:5, мы можем записать следующее уравнение: b = 4x a = 4x + 5x = 9x

Где x - некоторый коэффициент, который мы должны найти.

Таким образом, у нас есть система уравнений: 104 = 9x + 2(4x) 104 = 9x + 8x 104 = 17x

Решая это уравнение, найдем значение x: x = 104 / 17 x ≈ 6.12

Теперь, найдем значения сторон треугольника: a = 9x ≈ 54.08 b = 4x ≈ 24.48

Так как боковая сторона равнобедренного треугольника - это радиус вписанной окружности, давайте воспользуемся свойством вписанных углов и попробуем найти угол в этом треугольнике. Пусть O - центр вписанной окружности, точка касания с боковой стороной треугольника - точка M, а вершина угла - точка A.

Тогда угол OMA - половина угла A (половина угла при основании треугольника).

Так как боковая сторона делится точкой касания в отношении 4:5, то MO делится точкой N также в отношении 4:5.

OM / MO = 4 / 5 OM / (MA - AO) = 4 / 5 R / (b - R) = 4 / 5, где R - радиус вписанной окружности.

R / (b - R) = 4 / 5 5R = 4b - 4R 9R = 4b

9R = 4 * 4x 9R = 16x

R = 16x / 9 ≈ 9.07

Итак, радиус вписанной окружности равен примерно 9.07 см.

Из свойства вписанных углов, угол MOA равен половине угла A: MOA = A / 2

Из прямоугольного треугольника MOA: sin(MOA) = R / MA

sin(A / 2) = 9.07 / MA

A / 2 = arcsin(9.07 / MA)

A = 2 * arcsin(9.07 / MA)

Таким образом, зная значение угла A, мы можем использовать тригонометрические соотношения в треугольнике AOM для нахождения сторон треугольника:

sin(A) = b / 2R

b = 2R * sin(A)

b = 2 * 9.07 * sin(2 * arcsin(9.07 / MA))

Теперь у нас есть все значения сторон треугольника: a, b и b.

a ≈ 54.08 см b ≈ 24.48 см b ≈ 24.48 см

Обратите внимание, что значения могут незначительно отличаться из-за округлений в процессе расчетов.