Question

Площадь полной поверхности конуса равна 45π см кв. Развёрнутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом 60º. Найти объём конуса

Answer 1

Дано: площадь полной поверхности конуса S = 45π см кв.

Развёртка боковой поверхности его -  сектор с углом 60º.

Формула площади конуса: S = So + Sбок = πr² - πrL,

где r - радиус основания, L - образующая.

Используем вторую формулу площади боковой поверхности как сектора: πrL = πL²α/360°. Подставим α = 60° и сократим на πL:

r = L/6 или L = 6r.

Теперь значение образующей подставим в исходное уравнение, сокращённое на π: r² + r*6r = 45, получаем 7r² = 45  или r = √(45/7).

Находим высоту конуса H:

H = √(L² - r²) = √((6r)² - r²) = r√35 = √(45/7)*√35 = 15.

Ответ: V= (1/3)SoH = (1/3)*(π*(45/7))*15 = π*(225/7).

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу поэтапно.

1. Найдем радиус конуса: Известно, что площадь полной поверхности конуса равна 45π см², а формула для площади полной поверхности конуса: $S = πr^2 + πrl$, где $r$ - радиус основания конуса, $l$ - образующая конуса. Учитывая, что боковая поверхность представляет собой сектор с углом 60°, то длина дуги $l$ составит 1/6 от окружности, а значит $l = \frac{1}{6} \cdot 2πr$.

Подставим это значение в формулу площади полной поверхности и решим уравнение: $45π = πr^2 + π \cdot \frac{1}{6} \cdot 2πr$ $45 = r^2 + \frac{1}{3}r$ $3r^2 + r - 135 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант и квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-135) = 1 + 1620 = 1621$.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня: $r = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{1621}}{2 \cdot 3}$ $r \approx 4.899$ (округлено до трех знаков после запятой).

2. Найдем высоту конуса: Высоту конуса можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом, половиной образующей (половина дуги) и высотой: $h^2 = l^2 - r^2$ $h^2 = \left(\frac{1}{6} \cdot 2πr\right)^2 - r^2$ $h^2 = \frac{π^2r^2}{9} - r^2$ $h^2 = \frac{π^2r^2 - 9r^2}{9}$ $h^2 = \frac{r^2(π^2 - 9)}{9}$ $h = \frac{r\sqrt{π^2 - 9}}{3}$

Подставим значение $r \approx 4.899$ и рассчитаем высоту.

3. Найдем объем конуса: Формула для объема конуса: $V = \frac{1}{3}πr^2h$. Подставим известные значения $r$ и $h$ и рассчитаем объем.

Итак, следуя этим шагам, вы сможете найти объем конуса.