Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 2. а) Докажите, что угол между прямыми BD и CD1 равен 60°. б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

Answer 1

Пусть А - начало координат

Ось Х - АВ

Ось У - АD

Ось Z - AA1

Вектора

ВD ( -2;2;0)

CD1 ( -2;0;2)

AB(2;0;0)

AC (2;2;0)

BC1( 0;2;2)

Косинус Угла между BD и СD1

| BD * CD1 | / | BD | / | CD1 | =

4 / √ (4+4) / √ (4+4) = 1/2

Угол 60°

| АС ; ВС1 | = | АВ * АСхВС1 | / | АСхВС1 | = 8 / √( 16+ 16 +16 ) = 2/√3

Answer 2

а) Для доказательства угла между прямыми BD и CD1 равным 60°, давайте воспользуемся свойствами векторов.

Поскольку все ребра куба равны 2, это означает, что все его грани являются квадратами. Обозначим точку пересечения прямых BD и CD1 как E. Поскольку точка E лежит на ребре BD куба, она делит его пополам. Таким образом, длина отрезка BE равна 1 (половина длины ребра куба).

Теперь обратимся к грани куба ABCD. Мы видим, что точка E также является серединой диагонали грани ABCD (диагональ B1C). Следовательно, E также является центром квадрата B1C1D1C.

Так как у нас имеется равносторонний треугольник BEC1 (поскольку B1C1D1C - квадрат), мы можем утверждать, что угол B1EC1 равен 60° (угол в равностороннем треугольнике).

Но угол B1EC1 и угол BDC1 (поскольку они лежат на одной прямой) равны друг другу (вертикальные углы). Следовательно, угол между прямыми BD и CD1 равен 60°.

б) Для нахождения расстояния между прямыми AC и BC1, давайте рассмотрим грани куба ABCD и A1B1C1D1.

Рассмотрим треугольник ABC. Он является прямоугольным треугольником, так как AD и BC - это диагонали квадрата ABCD, и они пересекаются под прямым углом. Мы знаем, что длина каждой стороны этого квадрата равна 2.

Теперь рассмотрим треугольник A1B1C1. Он также является прямоугольным треугольником, так как A1D1 и B1C1 - это диагонали квадрата A1B1C1D1, и они также пересекаются под прямым углом. Так как все ребра куба равны 2, длина каждой стороны квадрата A1B1C1D1 также равна 2.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника с гипотенузами длиной 2. Расстояние между прямыми AC и BC1 будет равно разности длин их катетов:

Расстояние = √(Длина гипотенузы)^2 - (Длина катета)^2 Расстояние = √(2^2 - 2^2) Расстояние = √(4 - 4) Расстояние = √0 Расстояние = 0

Итак, расстояние между прямыми AC и BC1 равно 0.