Question

Найти радиус шара, если известно, что его объем равен объему цилиндра с осевым сечением, имеющим форму квадрата со стороной  а

Answer 1

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ABCD - квадрат и осевое сечение цилиндра.

СВ - сторона квадрата = а.

GH - высота цилиндра.

НВ - радиус основания цилиндра.

Объём цилиндра = объём шара.

Радиус шара = ?

Решение:

Если осевое сечение цилиндра - квадрат, то радиус основания в два раза меньше этой стороны, а высота цилиндра равна стороне квадрата.

Следовательно -

$HB=0,5*CB\\\\ \boxed{HB=0,5*a}$

$GH=CB\\\\ \boxed{GH=a}$

Пусть V - объём цилиндра (и, также по условию задачи, шара), а r - радиус шара.

Объём цилиндра равен произведению площади основания цилиндра и её высоты.

То есть -

$V = \pi *(0,5*a)^{2} *a\\\\V = \pi *0,25*a^{2} *a\\\\ \boxed{V = \pi *0,25*a^{3}}$

Объём шара равен произведения куба радиуса, 4/3 и π.

То есть -

$\boxed{V = \frac{4*\pi *r^{3} }{3} }$

Написанные в рамках уравнения имеют одинаковые левые части. Поэтому, мы можем приравнять правые части уравнений и выразить переменную r -

$\boxed{ \boxed{\pi *0,25*a^{3}}= \boxed{\frac{4*\pi *r^{3} }{3} }}\\\\\\\ \pi *0,75*a^{3} =4*\pi *r^{3}\\\\0,75*a^{3} =4*r^{3} \\\\r = \sqrt[3]{0,1875*a^{3} }\\\\r=a\sqrt[3]{0,1875}$

Answer 2

Объем шара и объем цилиндра можно выразить следующими формулами:

Объем шара: $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3$, Объем цилиндра: $V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h$.

Где $r$ - радиус сферы (шара), $\pi$ - математическая константа (приближенно равная 3.14159), $h$ - высота цилиндра (расстояние между плоскостями оснований).

Для данной задачи, если осевое сечение цилиндра имеет форму квадрата со стороной $a$, то высота цилиндра будет также равна $a$.

Из условия задачи мы знаем, что объем шара равен объему цилиндра, то есть:

$\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 a.$

Для нахождения радиуса $r$ нужно решить это уравнение относительно $r$:

$\frac{4}{3} r^3 = r^2 a.$

Переносим все члены на одну сторону:

$\frac{4}{3} r^3 - r^2 a = 0.$

Факторизуем $r^2$ как общий множитель:

$r^2 \left(\frac{4}{3} r - a\right) = 0.$

Так как радиус не может быть нулевым, то решением этого уравнения будет:

$\frac{4}{3} r - a = 0.$

Отсюда:

$\frac{4}{3} r = a,$

$r = \frac{3}{4}a.$

Таким образом, радиус шара равен $\frac{3}{4}$ от стороны $a$ квадрата, что можно записать как:

$r = \frac{3}{4}a.$