Question

в параллелограмме АВСD точка Е - середина стороны АВ. Известно, что ЕС=ED. Покажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

Answer 1

Рассмотрим треугольники AED, EBC. Докажем то что они равные:1)AE=EB(по условию)2)ED=EC(по условию)3)угол AED равен углу BEC(рассмотрите AB || DC и секущие ED, EC)Нам дан параллелограмм. В нем противоположеные углы равны. Значит, угол А равен углу С, а угол В равен углу D. В тр-ке EBC угол С равен углу D тр-ка AED. Тр-ик EDC- равнобедренный. угол С равен углу D. Сумма углов BCE и ECD = сумме ADE и EDC. Следовательно, в прямоугольнике ABCD, угол С = D, но по признаку параллелограмма противоположенные углы равны, угол С = A, B = D. Но С= D = B = A получается что все 4 угла равны ч.т.д P.S. рисунок половина решения, рисуйте смотрите

Answer 2

Для того чтобы показать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, нужно доказать, что его углы прямые (равны 90 градусам).

Мы знаем, что точка Е - середина стороны АВ, и что ЕС=ED. Давайте рассмотрим треугольники CЕD и CЕS:

1. Строим отрезок CD, который является одной из диагоналей параллелограмма ABCD.
2. Поскольку точка Е - середина стороны AB, то ЕC и ЕD - медианы треугольника ABC.
3. По свойству медианы треугольника, медиана делит сторону пополам и параллельна ей. Таким образом, СD делит треугольник CЕD пополам, и ЕC=ЕD.

Теперь у нас есть два равных отрезка ЕC и ЕD. Мы также знаем, что EC=ED. Это означает, что треугольник CЕD является прямоугольным (по свойству прямоугольного треугольника: если два катета равны, то треугольник прямоугольный).

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник CЕD. Теперь обратим внимание на параллелограмм ABCD:

4. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то ЕD=BC.
5. Из пункта 3, мы знаем, что ЕC=ED, а также из параллельности сторон AD и BC следует, что EC=AB.

Теперь сравним стороны прямоугольного треугольника CЕD с соответствующими сторонами параллелограмма ABCD:

EC = AB ED = BC

Углы при противоположных сторонах параллелограмма равны. Таким образом, углы A и C треугольника ABCD прямые, и, следовательно, параллелограмм ABCD является прямоугольником.