Question

Даны векторы а(7;0;0) и b(0;0;3).Найдите множество точек М, для каждой из которых выполняется условие ОМ*а=0 и ОМ*b=0, где О-начало координат.​

Answer 1

Даны векторы а(7;0;0) и b(0;0;3).Найдите множество точек М, для каждой из которых выполняется условие ОМ*а=0 и ОМ*b=0, где О-начало координат.​

Векторы а(7;0;0) и b(0;0;3)  заданы на осях Ox и Oz.

Скалярное произведение векторов равно нулю если они перпендикулярны.

Вектору а перпендикулярны все векторы, лежащие в плоскости yOz.

Вектору b перпендикулярны все векторы, лежащие в плоскости xOy.

Ответ: множество точек М, для каждой из которых выполняется условие ОМ*а=0 это плоскость yOz.

Множество точек М, для каждой из которых выполняется условие ОМ*b=0 это плоскость xOy.

Answer 2

Давайте найдем множество точек M, для которых выполняются условия OM * a = 0 и OM * b = 0, где O - начало координат, а a(7;0;0) и b(0;0;3) - заданные векторы.

Условие OM * a = 0 означает, что вектор OM ортогонален вектору a, то есть их скалярное произведение равно нулю:

OM * a = OMx * ax + OMy * ay + OMz * az = 0,

где OMx, OMy и OMz - координаты точки M.

Аналогично, условие OM * b = 0 означает ортогональность векторов OM и b:

OM * b = OMx * bx + OMy * by + OMz * bz = 0.

С учетом того, что вектор a(7;0;0) имеет ненулевую x-координату, а вектор b(0;0;3) имеет ненулевую z-координату, можно сделать следующие выводы:

1. Координаты точки M должны удовлетворять уравнению OMy * ay = 0, что означает, что либо OMy = 0 (точка M лежит на оси OX), либо ay = 0 (точка M лежит на плоскости y = 0).

2. Координаты точки M также должны удовлетворять уравнению OMx * bx + OMz * bz = 0, что означает, что точка M должна лежать в плоскости, проходящей через ось OZ и перпендикулярной вектору b(0;0;3).

Итак, множество точек M, удовлетворяющих условиям OM * a = 0 и OM * b = 0, состоит из точек:

1. Точек на оси OX (x-координата ненулевая, y и z равны нулю).

2. Точек на плоскости y = 0, лежащей в плоскости XZ.

3. Точек в плоскости, проходящей через ось OZ и перпендикулярной вектору b(0;0;3).

В общем случае, если точка M имеет координаты (x, y, z), то условия OM * a = 0 и OM * b = 0 преобразуются к следующим уравнениям:

x * 7 = 0 (условие ортогональности к вектору a), y * 0 = 0, x * 0 + z * 3 = 0 (условие ортогональности к вектору b).

Таким образом, множество точек M будет состоять из точек, лежащих на оси OX (x ≠ 0), на плоскости y = 0 и в плоскости, перпендикулярной вектору b(0;0;3) (x и z свободны).