Question

Даны вершины треугольника АВС: А (0;4), В (-2;4), С (-1;3). Найдите угол А в треугольнике АВС.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: два решения, так как не знаю какую тему проходите.

1. решение.

Найдем длины сторон.

АВ =$\sqrt{(-2-0)^2+(4-4)^2} = \sqrt{2^2} = 2$

AC = $\sqrt{(-1-0)^2+(3-4)^2} = \sqrt{2}$

BC = $\sqrt{(-1+2)^2+(3-4)^2}=\sqrt{2}$

По теореме косинусов

BC²=AB²+AC²-2AC*AB*cosA и отсюда

cosA = $\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AC*AB} = \frac{4+2-2}{2*2*\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} }{2}$

Угол А = 45°

2 решение

Найдем координаты векторов $AB(x_b-x_a;y_b-y_a) = AB(-2;0)$

Аналогично АС(-1;-1)

Найдем модули векторов

|AB| = $\sqrt{x_a_b^2+y_a_b^2} = \sqrt{4+0} = 2$

Аналогично |AC| = $\sqrt{2}$  кстати, модуль вектора и есть его длина и мы эти длины уже рассчитали выше.

Скалярным произведением двух векторов является сумма произведений соответствующих координат этих векторов.

(AB*AC) = (-2*(-1)) + 0*(-1)) = 2

Тогда из формулы скалярного произведения векторов АВ и АС

cosA = $1\frac{(AB*AC)}{|AB|*|AC|} = \frac{2}{2\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

cosA = 45°

Answer 2

Для нахождения угла А в треугольнике АВС, мы можем воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя векторами. Угол между векторами можно вычислить с помощью скалярного произведения векторов и их длин:

Угол между векторами A и B вычисляется по формуле:

cos(θ) = (A * B) / (||A|| * ||B||),

где A * B - скалярное произведение векторов A и B, ||A|| - длина вектора A, ||B|| - длина вектора B.

В данном случае, векторами будут являться направления из точки А в точку B и из точки А в точку C.

Вектор AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-2 - 0, 4 - 4) = (-2, 0), Вектор AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-1 - 0, 3 - 4) = (-1, -1).

Теперь мы можем найти длины векторов AB и AC:

||AB|| = √((-2)^2 + 0^2) = √4 = 2, ||AC|| = √((-1)^2 + (-1)^2) = √2.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и AC:

AB * AC = (-2) * (-1) + 0 * (-1) = 2.

Подставив значения в формулу для cos(θ), получим:

cos(θ) = 2 / (2 * √2) = 1 / √2.

Известно, что cos(45°) = 1 / √2. Следовательно, угол между векторами AB и AC (или угол А в треугольнике АВС) равен 45°.