Question

У геометричній прогресії ( bₙ ) відомі b₄ = 12: b₅=24 Знайдіть перший член знаменник та суму перших пяти членів прогресії

Answer 1

Ответ:

46,5

Решение:

q = 24/12 = 2

b1 = b4/q³ = 12/8 = 1,5

S5 = (1,5*(2⁵-1))/(2-1) = 46,5

Answer 2

Давайте спершу знайдемо загальний вираз для геометричної прогресії (bₙ):

bₖ = b₁ * r^(к - 1),

де b₁ - перший член прогресії, r - знаменник прогресії, к - номер члена прогресії.

Маємо дані: b₄ = 12, b₅ = 24.

Підставляючи ці значення в загальний вираз для bₖ, отримаємо систему рівнянь:

12 = b₁ * r^(4 - 1), 24 = b₁ * r^(5 - 1).

Розділимо друге рівняння на перше, щоб виразити r:

24 / 12 = (b₁ * r^(5 - 1)) / (b₁ * r^(4 - 1)), 2 = r.

Підставляючи значення r = 2 в будь-яке з вихідних рівнянь, ми можемо знайти перший член b₁:

12 = b₁ * 2^(4 - 1), 12 = b₁ * 2^3, 12 = 8b₁, b₁ = 12 / 8, b₁ = 3/2.

Отже, перший член прогресії b₁ = 3/2 (або 1.5), а знаменник r = 2.

Тепер ми можемо обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії за допомогою формули:

S₅ = b₁ * (1 - r⁵) / (1 - r).

Підставляючи значення, отримаємо:

S₅ = (3/2) * (1 - 2⁵) / (1 - 2), S₅ = (3/2) * (-31) / (-1), S₅ = 93/2.

Отже, сума перших п'яти членів прогресії S₅ = 93/2 (або 46.5).