Question

Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат с диагональю, равной 2π см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Answer 1

Ответ:

Н=C=√(2π)·sin45°=√(π)

C (окружности)=2πR

√(π)=2πR ⇒ R=1/(2√(π)).

S(бок.)==2πR·H=2π·(1/(2√(π)))·(√(π)=π

или

S(бок.)=S(развертки)=√(π)·√(π)=π;

S(осн.)=πR²=π·(1/(2(√π)))²=1/4;

S(полн.)=S(бок.)+2S(осн.)=π+2·(1/4)=π+(1/2)=(2π+1)/2 кв. см.

Ответ. S (полн.)=(2π+1)/2 кв. см.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте представим себе боковую поверхность цилиндра как прямоугольник, который можно развернуть в квадрат. Дано, что диагональ квадрата равна 2π см. Для квадрата диагональ делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Известно, что диагональ квадрата равна √2 * сторона квадрата. Так как диагональ дана как 2π см, то мы можем записать:

√2 * сторона квадрата = 2π

Отсюда сторона квадрата равна:

сторона квадрата = 2π / √2 = 2π / 2 = π см

Таким образом, сторона квадрата (или высота боковой поверхности цилиндра) равна π см.

Далее, чтобы найти окружность, которая станет основанием цилиндра, мы можем воспользоваться формулой для диаметра окружности через её радиус:

Диаметр = 2 * радиус

Так как боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, который развернутый становится квадратом, высота боковой поверхности цилиндра равна обхвату (периметру) основания цилиндра. А обхват (периметр) окружности равен 2π * радиус.

Имеем:

2π * радиус = π (так как высота боковой поверхности цилиндра равна радиусу основания)

Отсюда радиус равен:

радиус = π / 2

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, используя формулу:

Площадь боковой поверхности = высота * окружность = π * π / 2 = π^2 / 2

Площадь боковой поверхности цилиндра равна π^2 / 2.

Для нахождения полной площади поверхности цилиндра нужно добавить к этой площади площади двух оснований. Поскольку оба основания имеют форму круга, их площадь вычисляется по формуле:

Площадь основания = π * радиус^2

Площадь полной поверхности цилиндра = 2 * Площадь основания + Площадь боковой поверхности = 2 * (π * (π / 2)^2) + (π^2 / 2) = 2 * (π^2 / 4) + (π^2 / 2) = π^2 / 2 + π^2 / 2 = π^2

Итак, площадь полной поверхности цилиндра составляет π^2 квадратных сантиметров.