Question

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 8 дм и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности

Answer 1

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида.

SD = 8 дм.

∠SDO = 60˚

Найти:

S полной поверхности - ?

Решение:

SO - высота пирамиды => △SOD - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

=> ∠OSD = 90˚ - 60˚ = 30˚

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> OD = 8/2 = 4 дм.

Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, о напротив лежащий катет равен произведению меньшего катера на √3.

=> SO = 4 * √3 = 4√3 дм.

Так как данная пирамида - четырёхугольная, правильная => основание этой пирамиды - квадрат.

Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

Диагонали квадрата равны.

У квадрата диагонали точкой пересечения делятся пополам.

=> ABCD - квадрат; BD, AC - диагонали квадрата ABCD; BD = AC.

Так как OD = 4 дм => BD = 4 * 2 = 8 дм => AC = 8 дм.

d = a√2, где d - диагональ квадрата; а - сторона квадрата.

8 = а√2 => a = 8/√2 = 4√2 дм.

Итак, АВ = ВС = CD = AD = 4√2 дм.

S квадрата = а², где а - сторона квадрата.

S квадрата = (4√2)² = 32 дм²

S бок поверхности = 1/2РL, где Р - периметр основания; L - Апофема.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

Проведём Апофема SK

Проведём прямую ОК.

△SKO - прямоугольный, так SO - высота.

Так как AB = 4√2 дм => ОК = 4√2/2 = 2√2 дм

Найдём Апофему SK, по теореме Пифагора: (c= √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

SK = √(OK² + SO²) = √((2√2)² + (4√3)²) = 2√14 дм.

Р = a * 4, где а - сторона квадрата.

Р = 4√2 *4 = 16√2 дм.

S бок поверхности = 16√2/2 * 2√14 = 32√7 дм²

S полной поверхности = S основания + S бок поверхности = 32 + 32√7 = (32 + 32√7) дм²

Ответ: (32 + 32√7) дм²

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, как вычислить площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды можно разделить на несколько частей: площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания: Для правильной четырехугольной пирамиды основание — это квадрат. Пусть a будет длиной стороны квадрата. Тогда площадь основания равна S_осн = a^2.

2. Площадь боковой поверхности: Боковая поверхность состоит из четырех равнобедренных треугольников. Пусть b будет длиной бокового ребра пирамиды, а α — угол между боковым ребром и плоскостью основания (в данном случае, α = 60 градусов).

Площадь каждого из этих треугольников можно найти по формуле S_треугольника = (1/2) * b * b * sin(α).

Так как у нас есть 4 таких треугольника, площадь боковой поверхности будет S_бок = 4 * S_треугольника.

Теперь подставим известные значения:

• b = 8 дм (длина бокового ребра)
• α = 60 градусов

Площадь боковой поверхности: S_бок = 4 * [(1/2) * 8 * 8 * sin(60°)]

3. Суммируем площади: Общая площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: S_полная = S_осн + S_бок.

Теперь вычислим значения: S_осн = a^2 = 8^2 = 64 дм² S_бок = 4 * [(1/2) * 8 * 8 * sin(60°)] ≈ 138.56 дм²

Итак, S_полная = S_осн + S_бок = 64 дм² + 138.56 дм² ≈ 202.56 дм².

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет около 202.56 дм².