Question

ПОЖАЛУСТА ПОМОГИТЕ. В треугольнике АВС сторона АВ = 12, а ВС = 9; CN — медиана. Точка М делит отрезок ВС в отношении ВМ : МС = 2:1. В каком отношении биссектриса ВD делит отрезок NM.

Answer 1

Так как CN — медиана, то AN = NB = AB/2 = 6. По условию, BM : MC = 2 : 1 и BC = 9, то BM = 6 и MC = 3. По свойству биссектрисы:

$\dfrac{NP}{PM}=\dfrac{NB}{BM}~~\Rightarrow~~ NP:PM=1:1.$

Answer 2

Обозначим точку пересечения медианы CN с отрезком AV как O. Также обозначим точку пересечения биссектрисы BD с отрезком NM как P.

Сначала найдем длину медианы CN. Так как CN - медиана, она делит сторону AB пополам. Таким образом, CO = AO = 12 / 2 = 6. Также CN делит треугольник на два подобных треугольника ACO и BCO в соотношении 2:1 (так как BC делится отношением 2:1 точкой M). Следовательно, BN = 2 * BO = 2 * 6 = 12.

Теперь мы можем использовать теорему медианы, которая утверждает, что медиана треугольника делит ее в отношении 2:1 от вершины к основанию. Это означает, что NO = OC / 3 = 6 / 3 = 2.

Так как треугольник BNM подобен треугольнику BCO, то соотношение длин сторон BN и BO будет таким же, как и соотношение длин сторон BM и BC:

BN / BO = BM / BC

12 / 6 = BM / 9

BM = 18 / 3 = 6

Теперь у нас есть длины отрезков BO, NO и BM, и мы можем найти длину отрезка MO:

MO = NO - BM = 2 - 6 = -4

Так как MO отрицательное, это означает, что точка M лежит на продолжении CO за точку O.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников NMP и BDP:

BN / BO = NP / DP

12 / 6 = NP / DP

NP = 2 * DP

Таким образом, отношение NP к DP равно 2:1.

Итак, биссектриса BD делит отрезок NM в отношении 2:1.