Question

Биссектриса, проведенная из острого угла А равнобедренной трапеции АВСD, делит боковую сторону СД точкой Е в отношении 2:3, считая от тупого угла. Биссектриса АЕ пересекает диагональ ВД в точке М и точкой пересечения делит ее пополам. Площадь треугольника MED равна 6. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Ответ: 80

Объяснение: Заметим , что площадь треугольника MED  S(MED)=S(BCD)*(MD/BD)*(ED/CD)= 6

Отсюда находим S(BCD)=6/0.5/(3/5)=12/3*5=20

Заметим также, что поскольку АМ в треугольнике АВD  является и биссектрисой и медианой , то треугольник ABD равнобедренный, АВ=AD

Обозначим СЕ=2х, тогда DE =3x, CD=AB=AD=5x

Продлим отрезок АЕ за точку Е до пересечения с прямой BC в точке К

Тогда треугольники СКЕ и DAЕ подобны

CK/AD=CE/DE=2/3

CK=2/3*AD=10x/3

Треугольники ВКМ и DAM равны ( по стороне и двум углам).

BM=MD углы BMK =AMD=90 град ( по условию)

углы МВК=MDA ( накрест лежащие)

Тогда AD=BK=5x

Тогда ВС=ВК-СК=5х-10х/3= 5x/3

S(BCD)= BC*CD*sin(BCD)/2=20

5x/3*5x*sin(BCD)=40

25*x^2*sin(BCD)=120                          

S(ABD)=AB*BD*sin(BAD)/2                (1)

Так как по свойству трапеции BAD=180-ABC  и так как в равнобедренной трапеции АВС=BCD, => sin (BAD)=sin(BCD)

Перепишем (1):

S(ABD)=25*x^2*sin(BCD)/2=120/2 =60

Тогда площадь трапеции S(ABCD)=S(BCD)+S(ABD)=20+60=80

Answer 2

Обозначим стороны равнобедренной трапеции следующим образом:

• Боковая сторона, параллельная основаниям: AB = CD = a
• Основания: BC = AD = b
• Диагональ: BD = c

Мы знаем, что биссектриса из острого угла A делит боковую сторону CD в отношении 2:3, считая от тупого угла. Это означает, что CE = 2/5 * CD = 2/5 * a.

Также известно, что биссектриса AE делит диагональ BD пополам, следовательно, MD = MB.

Обозначим отрезки:

• ME = x
• MD = MB = x
• BD = c

Теперь мы можем записать уравнения по площадям треугольников:

1. Площадь треугольника MED: S_MED = 0.5 * ME * ED = 6.

2. Площадь треугольника AEB: S_AEB = 0.5 * AE * EB.

3. Площадь треугольника BMD: S_BMD = 0.5 * BM * MD.

4. Площадь треугольника BCD: S_BCD = 0.5 * BC * CD.

Поскольку AE и EB составляют всю диагональ BD, то AE + EB = BD = c.

С учетом того, что AE = AD - DE = a - 2/5 * a = 3/5 * a, мы можем найти EB: EB = BD - AE = c - 3/5 * a.

Теперь мы можем выразить S_AEB и S_BMD через x:

S_AEB = 0.5 * AE * EB = 0.5 * (3/5 * a) * (c - 3/5 * a) = 3/10 * a * (c - 3/5 * a).

S_BMD = 0.5 * BM * MD = 0.5 * x * x = 0.25 * x^2.

Также мы можем выразить S_BCD через a и CD (которая равна CE + ED):

S_BCD = 0.5 * BC * CD = 0.5 * a * (CE + ED) = 0.5 * a * (2/5 * a + x).

Из уравнения площадей треугольников MED, AEB и BMD мы можем получить:

6 = 3/10 * a * (c - 3/5 * a) + 0.25 * x^2.

Теперь у нас есть система уравнений:

• 6 = 3/10 * a * (c - 3/5 * a) + 0.25 * x^2 (1)
• CE = 2/5 * a
• EB = c - 3/5 * a
• MD = MB = x
• BD = c
• S_BCD = 0.5 * a * (2/5 * a + x)

Эту систему сложно аналитически решить в общем виде, поэтому давайте попробуем численное решение. Подставляя известные значения, мы можем решить уравнение (1) относительно x и использовать его, чтобы найти S_BCD.

Примечание: Решение этой системы выходит за рамки текстового формата, но вы можете использовать численные методы, такие как итерационные или численное интегрирование, чтобы получить приближенный ответ для площади трапеции.