Question

Определить силу притяжения Урана к Солнцу. Найти первую космическую скорость на этой планете.

Answer 1

Дано:

Mу = 8,68×10²⁵ кг

Mс = 1,9891×10³⁰ кг

R = 2,88 млрд. км = 2,88×10¹²‬ м

G = 6,67×10⁻¹¹ Н×м²/кг²

Rу = 25360 км = 25360000 м

gу = 8,86 м/с²

--------------------------------------------------

Найти:

а) F - ?

б) υу - ?

Решение:

а)

Воспользуемся формулой всемирного тяготения:

F = G × Mу×Mс/R²

Теперь считаем:

F = 6,67×10⁻¹¹ Н×м²/км² × 8,68×10²⁵ кг × 1,9891×10³⁰ кг/(2,88×10¹²‬ м)² = 6,67×10⁻¹¹ Н×м²/км² × 17,265388×10⁵⁵ кг²/8,2944‬×10²⁴ м² = 115,16013796×10⁴⁴ Н×м² / 8,2944‬×10²⁴ м² ≈ 13,88×10²⁰ Н

б) Далее мы находим формулу для первой космической скорости на планете Урана:

υу = √gу×Rу

Теперь считаем:

υу = √8,86 м/с² × 25360000 м = √224689600 м²/с² ≈ 14989,65 м/с ≈ 14990 м/с ≈ 14,99 км/с

Ответ: а) F = 13,88×10²⁰ Н ; б) υу = 14,99 км/с

Answer 2

Сила притяжения между двумя объектами можно рассчитать с помощью закона всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$,

где:

• $F$ - сила притяжения между объектами,
• $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2$),
• $m_1$ и $m_2$ - массы объектов (масса Солнца и масса Урана соответственно),
• $r$ - расстояние между объектами.

Масса Солнца $m_{\text{Солнца}} = 1.989 \times 10^{30}\, \text{кг}$. Масса Урана $m_{\text{Урана}} = 8.681 \times 10^{25}\, \text{кг}$. Среднее расстояние между Солнцем и Ураном $r = 2.8707 \times 10^{12}\, \text{м}$.

Подставив данные в формулу, получим:

$F = (6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2) \cdot \frac{(1.989 \times 10^{30}\, \text{кг}) \cdot (8.681 \times 10^{25}\, \text{кг})}{(2.8707 \times 10^{12}\, \text{м})^2}$,

$F \approx 5.889 \times 10^{23}\, \text{Н}$.

Теперь, чтобы найти первую космическую скорость на Уране, нужно учесть, что она определяется как минимальная скорость, при которой объект может преодолеть гравитационное притяжение планеты и покинуть её.

Первая космическая скорость $v_{\text{перв.косм.}}$ можно рассчитать по формуле:

$v_{\text{перв.косм.}} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot m_{\text{Урана}}}{r_{\text{Урана}}}}$,

где:

• $G$ - гравитационная постоянная,
• $m_{\text{Урана}}$ - масса Урана,
• $r_{\text{Урана}}$ - радиус Урана (половина диаметра).

Средний радиус Урана $r_{\text{Урана}} = 2.536 \times 10^{7}\, \text{м}$.

Подставив значения, получим:

$v_{\text{перв.косм.}} = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2) \cdot (8.681 \times 10^{25}\, \text{кг})}{2.536 \times 10^{7}\, \text{м}}}$,

$v_{\text{перв.косм.}} \approx 20,100\, \text{м/с}$.

Итак, сила притяжения Урана к Солнцу составляет около $5.889 \times 10^{23}\, \text{Н}$, а первая космическая скорость на Уране составляет около $20,100\, \text{м/с}$.